论文总字数：6308字

摘 要

几何概型是一种非常重要的数学模型,用它作为模型可以解决初等数学和高等数学的很多理论和实际问题.本文重点介绍几何概型的概念及其有关性质，讨论几何概型在一些计算中的注意点及计算方法，并介绍一些与几何概型有关的应用.

关键词：几何概型,分布函数,联系概率

Abstract：Geometric probability is an important mathematic model. It can be used to solve many theoretical and practical problems of elementary and advanced mathematics. The concept of geometric probability, together with related characteristics, will be mainly introduced in this article. The notices and computation method when using geometric probability will be discussed, too. And several applications on how to use this model are introduced finally.

Keywords：the geometric model, distribution function, contact probability

目 录

1 引言 4

2 几何概型的概念性质 4

2.1 定义 4

2.2 非常性质 4

3几何概型的计算与应用 5

3.1几何概型的计算 5

3.2几何概型的应用 7

4几何概型的联系概率 9

4.1联系概率定义 9

4.2几何概型中的联系概率 9

结论 12

参考文献 13

致谢 14

1 引言

在概率论的发展历史上，人们往往只重视概率的统计定义、 古典定义以及公理化定义,往往忽视了另外一种概率定义----几何概率. 几何概率问题研究的是“ 等可能无限 ” 的概率模型,是古典概率的补充和推广.几何概型在概率发展中起过非常重要的作用,在概率运算和实际应用中占有一定的地位.在现实生活中,常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多个的情况,这时用古典概型来计算随机事件的概率是不可行的,所以在特定情况下,我们可以用几何概型来计算事件发生的概率,这就要求我们要对几何概型进行进一步的挖掘.

2 几何概型的概念性质

2.1 定义

定义^[2]：设Ω是n维空间的勒贝格可测集,具有有限的测度,现向Ω中等可能地投掷一点 M,即 M在Ω中均匀分布,那么M落在可测集中的可能性与 A的测度成正比,而与 A的形状无关. 则M落在 A中的概率为 ：

（表示Ω的勒贝格测度, 表示 A的勒贝格测度.测度在一维空间中指有限区间的长度,二维空间中指可求积的平面区域的面积,三维空间中指可求积空间区域的体积等.)

2.2 非常性质

非常性质1 ^[4] 在几何概率中，不可能事件发生的概率为0， 但概率为0的事件不一定是不可能事件.

例1 求在一个圆上任意取3个点，以这3个点为顶点的三角形是直角三角形的概率并指出其发生的可能性.

解 设为圆内接的最大内角

则

=0

故为直角三角形发生的概率为0，但是当其中两点与直径的两个端点重合，令一点在圆上任一位置（不与另两点重合），此时以这三个点为顶点的三角形是直角三角形，这样事件便发生了，此时事件是可能事件却不是不可能事件.

非常性质2^[4] 在几何概型中，背景相似的问题，当等可能的角度不同时，其概率是不一样的．

例2 在一个单位圆内随机地取一条弦，其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少.

解 角度1: 把弦的端点落在圆周上的任一点视为等可能的.任取一段弦，过此弦的一个

端点作圆的内接等边三角形，这一三角形内角所对的弧占整个圆周的，当且仅当弦的另一端点落在这段弧上时，弦的长度才超过，故所求概率为.

角度2: 把弦的中点在直径上是均匀分布的视为等可能的.弦长和它到圆心的距离有关.因此可以假定某一弦垂直于某一直径，当且仅当它与圆心的距离小于时，弦的长度才超过，故所求概率为.

角度3: 把弦的中点在圆内是均匀分布的视为等可能的.作圆内接等边三角形的内切圆,该圆的半径是，当且仅当弦的中点落在内切圆内时，弦长才超过,故所求概率为内切圆与大圆的面积之比.

3几何概型的计算与应用

3.1几何概型的计算

在通过一系列几何概型问题研究后可以发现几何概型问题一般有两个特征:(Ⅰ)问题包含的样本空间有无穷多个量, 每个量由几何空间中的某一区域内的点的随机位置来确定; (Ⅱ)各个量的发生是等可能的.要解决几何概型问题，首先要弄清题中的变量，准确把握;其次便是要作出正确的图.因此对于几何概型问题可以将求解过程总结为以下四步：

①设置变量:仔细阅读问题，发现问题中的随机变量，并用字母来表示;

②集合表示:把每次试验结果用集合来表示,这些相应的集合分别表示为试验Ω发生的全部可能和事件 A发生的全部可能;

③画出区域:画出集合所代表的几何区域，先画出不等式对应的曲线 ,再选择一点在符合条件的区域进行验证;

④计算求解:根据几何概型的概率计算公式进行求解，.

例3(占位问题) 从区间(0 ,1)内任取两个数,求这两个数的积小于的概率.

y

1

Ω

A

1

x

分析 将这两个数视为x 和y ,且,这样样本空间就是边长为1 的正方

形Ω 如图，两数之积小于 的充要条件为，即样本点(x,y)落在由双曲线xy=及四条直线x=0,x=1,y=0,y=1所围成的区域A内.

解 由分析知Ω的面积为1,区域A 的面积为=

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：6308字