对均值不等式的探讨
2023-05-31 09:02:01
论文总字数：6419字
摘 要
均值不等式，是数学的一类重要不等式，同时它也有着广泛的应用。例如求函数的最值、不等式的证明、数学表达式大小的比较、求变量的取值范围、解决实际问题等等。均值不等式在数学各个领域和科学技术中都是不可或缺的重要基础工具。本文将对均值不等式进行初步的探讨。关键词：算术平均值,几何平均值,不等式
Abstract： The mean value inequality, is a kind of important inequalities in mathematics, and it also has a wide range of applications. For example, seeking the extremum of function, inequality, mathematical expressions for size comparison, for the range of variables to solve practical problems, etc. The mean value inequality is an important basic tool indispensable in every field of mathematics and science and technology. This paper will discuss the mean value inequality.
Key words：Arithmetic mean , Geometric mean, Inequality
目 录
1 绪 论........................................................3
2 基本均值不等式................................................4
3 常用解题技巧..................................................6
4 常见应用.....................................................12
总 结..........................................................16
参考文献........................................................17
致 谢..........................................................18
1 绪论
算术平均值，即算术平均数，又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标。设一组数为，则算术平均数
.
几何平均值，即几何平均数，是指个正数连乘积的次方根。设一组数为，则几何平均数
.
我们知道算术平均数，体现纯粹数字上的关系，而称为几何平均数，这个体现了一个几何关系。作一正方形，使其面积等于以为长宽的矩形的面积，则该正方形的边长即为的几何平均数。
在基本均值不等式中，最著名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM不等式）。我们给出其定义：设为正实数，则
.
(）
均值不等式是一个大家都耳熟能详的不等式，但它的历史却鲜为人知。虽然在古代，毕达哥拉斯学派曾研究过十种比例中项，但是它们之间的大小关系并没有被关注。在近现代，欧洲国家最先兴起对数学不等式的研究。在数学不等式理论发展史上具有两个分水岭意义的事件：一个是Chebycheff在1882年发表的论文；另一个是1928年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲。自从Cambridge University Press于1934年出版了著名的数学家G. H. Hardy与J. E. Littlewood的著作Inequalities，从此不等式不再是一些凌乱的、独立的公式，此时数学不等式理论及其应用正式成为一门新兴的数学学科，并且已发展成为了一套系统的科学理论。
本文主要介绍了基本均值不等式的定义定理，详细的归纳出了九个常用的解有关均值不等式的解题技巧，分别为凑项、换元、整体代换、分离、升降幂、凑系数、取平方、结合函数的单调性和部分代换。我们还列举出一些常见应用，如解决有关几何问题、解方程、证明有关不等式等，同时我们还发现了两种新的解题方法。
2 基本均值不等式
均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学的一类重要不等式，同时它也有着广泛的应用。例如求函数的最值、不等式的证明、数学表达式大小的比较、求变量的取值范围、解决实际问题等等。在基本均值不等式中，最著名的当属算术—几何均值不等式。
算术平均值，即算术平均数，又称均值，是统计学中最基本、最常用的一种平均指标。设一组数为，则算术平均数
.
几何平均值，即几何平均数，是指个正数连乘积的次方根。设一组数为，则几何平均数
.
下面将给出相关定理及证明.规定表示实数，表示正实数.
定理：若，则
.
(）
我们将用数学归纳法来证明定理1.
证明：
(),
由此，有
.
接此方法下去，可推出原不等式对
（）都成立.
为证其对一切都成立，下面用反向归纳法.
即要证原不等式对成立，则它对也成立.
设，令
,
则,
,
整理后即得,
得证.
综上所得，定理1成立.
上述定理有若干个变形，以下将列举出来：
- 若时，则有
. ①
把①式中的换成得
. ②
(当且仅当时取)
- 把①式中的换成，
若，则有
.
(当且仅当时取)
若，则有
.
(当且仅当时取)
- 把①式中的换成，
若，则有
.
(当且仅当时取）
若，则有
.
(当且仅当时取）
（4）若把定理1中的换成，则有
.
(当且仅当时取）
若换成，则有
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