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摘 要

关键词:正项级数，敛散性,柯西判别法，Cauchy判别法的推广

Abstract: In this paper , Beginning with the basic form of the main criterion from the positive series convergence and divergence of Cauchy , leads to the positive series , Cauchy discriminant method a series of promotion , and a detailed proof . Finally , through the concrete examples , illustrates its application .

Keywords：Positive series, Convergence and divergence, Cauchy criterion, Promotion of Cauchy criterion

目 录

1 引言 …………………………………………………………………………4

2 预备知识 ……………………………………………………………………4

3 正项级数敛散性Cauchy判别法的介绍……………………………………5

4 正项级数敛散性Cauchy判别法的推广……………………………………6

4.1 广义Cauchy判别法一 …………………………………………………6

4.2 广义Cauchy判别法二 …………………………………………………7

4.3 广义Cauchy判别法三 …………………………………………………8

5 广义Cauchy判别法的应用…………………………………………………9

结束语 …………………………………………………………………………12

参考文献 ………………………………………………………………………13

致谢 ……………………………………………………………………………14

1 引言

柯西是人类历史上突出的人物，在很多方面都有其突出的贡献，数学、物理、化学、生物等各个邻域都有所涉足，尤其是对数学的研究,更加体现了他在人类社会的重要地位,大大加快了社会生产力的发展.柯西在数学邻域的成就犹如满天繁星,而他在正项级数的敛散性判断方面有着自己的方法--柯西判别法.其中“正项级数”是《数学分析》课程中重要的内容之一，它的敛散性的判定不仅是一个重点，也是一个难点.“Cauchy判别法”是判定正项级数敛散性的一种有效方法，使用起来方便、快捷，但在使用“Cauchy判别法”的同时，我们发现，“Cauchy判别法”具有一定的局限性.本文主要从正项级数的基本定义入手，逐步探究“Cauchy判别法”的推广形式以及它的部分应用.

2 预备知识

定义1 设,则级数称为（严格）正项级数.

定理1（比较原则）有和两个正项级数，若存在一个（正数），对于一切的都有：

则有：

(1)如果级数收敛，则级数也收敛；

(2)如果级数发散，则级数也发散.

定理2(正项级数收敛的充要条件)

正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界.

证明（充分性）因为正项级数部分和数列单调递增且有界，所以数列收敛，它也就是等价于正项级数收敛.

（必要性）因为收敛，这也就等价于收敛，根据数列收敛的定理知：有界.

定理3(达朗贝尔判别法)

设为正项级数,存在某(正整数)和常数.

1. 如果对于一切,成立不等式

,

则正项级数收敛.

(2)如果对于一切,成立不等式

,

则正项级数发散.

3 正项级数敛散性Cauchy判别法的介绍

定理4（Cauchy判别法1)设是正项级数，并且满足.

(1)如果,那么级数发散；

(2)如果,那么级数收敛；

(3)如果，那么定理失效.

例1 试讨论正项级数的敛散性.

解 令，那么当时，有：

，

而当时，有：

，

从而.

再由定理2知，此级数收敛.

在例题1中，如果我们使用比式判别法（达朗贝尔判别法），会得到：，可见，比式判别法（达朗贝尔判别法）不可以判定出其敛散性，所以，我们研究Cauchy判别法就显得尤为重要.

定理5 （Cauchy判别法2）设是正项级数，

(1)如果从某一项开始（即存在，当时），存在规律（为常数），那么，有级数收敛；

(2)如果从某一项开始，，那么，有级数发散.

例2 试判断级数的敛散性.

解 运用定理2得,

，

显然，这样的极限是不存在的，运用定理2,3,4是无法解决的，下面，我们运用定理5来解决问题，有：

，

那么由定理5知，原级数收敛.

注 凡是可以用比式判别法（达朗贝尔判别法）判定敛散性的正项级数一定可以使用根式判别法（Cauchy判别法）进行判断，这也是我们研究根式判别法的意义所在，它的级别更高，使用起来更加方便.

4 正项级数敛散性Cauchy判别法的推广

4.1 广义Cauchy判别法一

定理6 设是正项级数，若（是大于1的正整数），那么：

（1）当时，级数发散；

（2）当时，级数收敛；

（3）当时，级数可能收敛也可能发散.

证明 因为，由极限的定义知：当时，有：

,

当时，有足够小，使得，那么，存在，当时，即，故而有，所以原级数发散

当时，有足够小，使得，那么，存在，当时，成立，又因为（m1），而正项级数收敛（），那么由比较判别法知，级数收敛，所以原级数收敛.

当时，取为级数，那么，有: .

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