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摘 要

：初等变换是线性代数中最基本的方法，在许多领域都有着广泛的应用. 本文主要对利用初等变换统一处理和简化繁杂线性问题的方法进行归纳和研究，系统地归纳运用初等变换解决这些实际问题的方法.

关键词：初等变换，极大线性无关组，矩阵的秩，过渡矩阵，基

Abstract: Elementary transformation is a basic method in the linear algebra, it has been widely used in many fields. In this paper, we mainly research and summarize the method to solve comp- licated problems in linear algebra by using elementary transformation.

Keywords: elementary transformation, maximum independent system, ranks of matrix, transit- ion matrix, base. . transition matrix . transition

目 录

0 引言………………………………………………………………………………………………4

1 初等变换……………………………………………………………………………4

2 初等变换的实际应用……………………………………………………………………4

2.1 利用初等变换求多项式的最大公因式和最小公倍式………………………4

2.2 利用初等变换求向量组的极大无关组与秩…………………………………… 5

2.3 利用初等变换求矩阵及二次型的秩……………………………………………6

2.4 利用初等变换解线性方程组………………………………………………………… 6

2.5 利用初等变换求逆矩阵……………………………………………………………… 9

2.6 利用初等变换解矩阵方程……………………………………………………………11

2.7 利用初等变换求过渡矩阵 …………………………………………………………11

2.8 利用初等变换求任一向量在一组基下的坐标 ………………………………13

2.9 利用初等变换将二次型化为标准形………………………………………………14

2.10 利用初等变换求子空间的交与和的基与维数………………………………15

2.11 利用初等变换求标准正交基………………………………………………………17

结论……………………………………………………………………………………………………19

参考文献…………………………………………………………………………………………… 20

致谢……………………………………………………………………………………………………21

0 引言

矩阵的初等变换起源于解线性方程组，是线性代数的一个基本概念．又由于初等变换在解决矩阵问题时具有步骤简单，运算量小，易于操作等特点，故初等变换在矩阵的研究中成为了一个重要的工具，在解决线性代数的实际问题中有着广泛的应用.

1 初等变换

矩阵的初等变换是指对矩阵实行以下三种变换：

（1）交换矩阵的两行（列）；

（2）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；

（3）用一个非零数乘以矩阵的某一行（列）后加到矩阵的领另一行（列）的对应的

元素上.

由于许多线性问题都可以用矩阵来描述，因此我们在处理线性问题时，可以运用矩阵初等变换这个有力工具，使复杂的问题简单化. 下面讨论初等变换在解决线性代数实际问题中的应用.

2 初等变换的实际应用

2.1 利用初等变换求多项式的最大公因式和最小公倍式

性质1 一个矩阵可逆的充分必要条件是矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积.

性质2 对矩阵左乘一个阶初等矩阵就相当于对施行一次相应的初等

行变换.

定理1 设,是中的非零多项式，若，则存在可逆

的多项式矩阵,使得

，

其中首项系数为1，, .

由性质1,2和定理1得多项式的最大公因式和最小公倍式的统一求法:以构造

矩阵，对作初等行变换，化为时，其中首项系数为1，则, .

例1 已知 ,,求的最大公因式和最小公倍式.

解 如前述方法构造多项式矩阵，并对其实施初等行变换：

,

所以

=，

=.

2.2 利用初等变换求向量组的极大无关组与秩

求一组向量的一个极大无关组，最常用的方法就是利用初等变换法来解决，将向量按列形成矩阵，再对矩阵施以行变换，化为最简矩阵，就能列出向量组的一个极大线性无关组，从而求出向量组的秩．下面通过例子来说明这种方法.

例2 求向量组,,的一个极大无关组与秩．

解 将按列组成矩阵，并作初等行变换：

，

故可知为向量组的一个极大无关组，向量组的秩为2．

2.3 利用初等变换求矩阵及二次型的秩

性质3 初等变换不改变矩阵的秩.

性质4 任意一个矩阵，均可以经过一系列初等变换化为阶梯矩阵.

由性质3和性质4可得求矩阵的秩的方法，即利用初等变换将矩阵化为阶梯矩阵，然

后由阶梯矩阵的秩来确定原矩阵的秩，且阶梯矩阵的非零行数即为秩.

例3 已知矩阵，求矩阵的秩.

解 对矩阵作初等行变换：

，

由于有三个非零行，所以矩阵的秩为3.

注 在求二次型的秩时，只要转化为求二次型的系数矩阵的秩即可.

2.4 利用初等变换解线性方程组

2.4.1 利用初等变换求齐次线性方程组的基础解系

设是齐次线性方程组

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