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摘 要

微分中值定理是微分学的理论基础，为研究函数的整体性态提供了有利的分析工具.本文介绍了常用的微分中值定理罗尔定理、拉格朗日定理以及柯西定理，论述微分中值定理在证明方程根的存在性、研究函数的性态、证明等式与不等式、求极限、求近似值、判断级数的敛散性及函数的一致连续性问题等7个方面的应用，从而加深对微分中值定理的理解.

关键词: 罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，应用

Abstract:Mean Value Theorem is the theoretical basic of differential calculus,which works as a powerful analytical tool for studying the integrity of functional operation.This paper introduces Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem, discuss application of differential central value theorem such as proving existence of roots of equation, study properties of function, proving equality and non-equality, seeking extreme value and approximate value and so on. This deepens one’s comprehension for differential central value theorem.

Keywords: Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem, application

目 录

1引言………………………………………………………………………… 4

2微分中值定理的基本内容及其几何意义………………………………… 4

3微分中值定理之间的关系………………………………………………… 5

3.1微分中值定理在结构上的相关关系…………………………………… 5

3.2微分中值定理证明的统一……………………………………………… 5

4微分中值定理的应用………………………………………………………5

4.1罗尔中值定理在解题中的应用……………………………………6

4.1.1证明中值点的存在性…………………………………………………6

4.1.2讨论方程的实根………………………………………………………7

4.2拉格朗日中值定理在解题中的应用…………………………………8

4.2.1讨论函数的单调性……………………………………………………8

4.2.2证明函数恒为常数……………………………………………………9

4.2.3证明不等式…………………………………………………………… 10

4.2.4求极限………………………………………………………………10

4.2.5求近似值……………………………………………………………11

4.2.6判断级数的敛散性…………………………………………………11

4.2.7关于函数的一致连续性问题…………………………………………12

4.3柯西中值定理在解题中的应用…………………………………………12

4.3.1证明等式……………………………………………………………12

4.3.2证明不等式…………………………………………………………13

4.3.3证明函数的有界性…………………………………………………14

结论 ……………………………………………………………………16

参考文献 ………………………………………………………………17

致谢………………………………………………………………………18

1 引言

微分学是数学分析中的重要主成部分,而微分中值定理则是微分学的核心.罗尔中值定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理统称为微分中值定理.它们是微分学中最基本而又最重要的定理,其中罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况,而柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.微分中值定理主要是应用导数的局部性研究函数在区间上的性质,在研究函数的性质上是一个非常有利且方便的工具.运用它们可以通过函数的导数研究函数的一些问题,如中值点的存在性、研究函数的性态、证明等式与不等式、求极限、求近似值、判断级数的敛散性及函数的一致连续性问题等.下面将针对微分中值定理中重要的这三大定理分别进行举例分析,来讨论微分中值定理在以上各方面的具体应用.

2 微分中值定理的基本内容及其几何意义

微分中值定理是反映了导数值和函数值之间联系的三个重要定理,它们分别是罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

定理1 （罗尔（Rolle）中值定理） 若函数满足如下条件:

1. 在闭区间上连续;

（2）在开区间内可导;

（3）;

则在内至少存在一点,使得

.

罗尔定理的几何意义:满足定理条件的函数在开区间内的曲线上至少存在一条水平切线.

定理2 （拉格朗日（Language）中值定理） 若函数满足如下条件:

（1）在闭区间上连续;

（2）在开区间内可导;

则在内至少存在一点,使得

.

拉格朗日定理的几何意义:满足定理条件的函数在开区间内的曲线上至少存在一点,曲线在该点的切线平行于曲线的两个端点的连线.

定理3 （柯西中值定理） 设函数和满足

（1）在闭区间上都连续;

（2）在开区间内都可导;

（3）和不同时为零;

（4）,

则存在一点,使得

.

柯西定理的几何意义:满足定理条件的函数和所确定的参数曲线上至少存在一点,且该点的切线平行于参数曲线的两个端点的连线.

3 微分中值定理之间的关系

3.1 微分中值定理在结构上的相互关系

（1）当函数时,,,,

由柯西中值定理我们可以得到拉格朗日中值定理:

.

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