论文总字数：5172字

摘 要

关键词：幂等矩阵，幂等变换，特征值，对角化.

Abstract: idempotent matrix is a kind of important matrix, this paper given the basic properties of idempotent matrix and the idempotent transformation, the rank,characteristic value ,trace, similarity diagonalization and so on had been discussed, given their related applications as the development.

Key words : idempotent matrix，idempotent transformation，characteristic value，diagonalization

目 录

1 引言…………………………………………………………… 4

2 预备知识……………………………………………………… 4

3 幂等矩阵的基本性质………………………………………… 4

4 幂等变换的基本性质………………………………………… 6

5 幂等矩阵对角化的性质……………………………………… 8

6 幂等矩阵数值特征的有关性质………………………………10

7 幂等矩阵和幂等变换的应用…………………………………11

结论……………………………………………………………… 13

参考文献………………………………………………………… 14

1 引言

在高等代数中，矩阵的角色就如同初等数学中实数的角色一样,矩阵可以将很多相对复杂的问题形式转变为更加简洁明了,从而有关矩阵的理论与方法试用于大多问题.幂等矩阵含有许多其他一般矩阵不具备的特殊性质,所以在解决实际问题上有很大的应用,在可对角化矩阵的分解中，它提供了一种新的解题思路,同时也是求解空间的投影的一种重要的运算工具.

随着全世界进入到了信息化时代,传输和存储信息,安全是非常重要的.保证信息在系统中具有严密性、完整性和认证性就是信息系统的安全的定义.其中认证性是己方为了能够识别和确认信息的真伪,防止敌方的主动攻击.幂等矩阵能够编写认证码，而它是解决信息认证问题的一种具体工具.当然幂等矩阵的应用还延伸到其他章节,有些还在挖掘之中.因此,幂等矩阵值得深入研究．

2 预备知识

定义1^[5] 对阶方阵, 若 则称为幂等矩阵.

定义2^[5] 设是数域上维线性空间的线性变换,若,则称是幂等变换.

表示实数域;表示实数域维线性空间;表示实数域上的阶矩阵;表示复数域;表示复数域维列向量空间;表示矩阵的转置;表示矩阵的伴随矩阵;表示矩阵的逆;表示矩阵的行列式;表示矩阵的秩;表示矩阵的核空间;表示矩阵的值域;表示线性空间的维数;表示数域上维线性空间的线性变换;表示矩阵与相似.

3 幂等矩阵的简单性质

性质1^[3] 与幂等矩阵相似的矩阵是幂等矩阵.

证明 设为阶幂等矩阵,则且与相似,则存在阶可逆矩阵,使得,从而,因此是幂等矩阵而对于一般的幂等矩阵,其中为正整数, 由归纳假设,当时.因为是幂等矩阵,则.对等式两边左乘,得,,所以成立.设成立,即存在正整数使成立,，所以对于一切正整数都成立．

性质2^[4] 同阶可交换的幂等矩阵的乘积是幂等矩阵.

证明 设,是同阶可交换矩阵则,.

,所以是幂等矩阵.

性质3^[4] 幂等矩阵一定是方阵．

证明 假设矩阵为幂等矩阵,则,即,在乘积的定义中,第一个矩阵的列数与第二个矩阵行数必须相等,即是方阵．

性质4 幂等矩阵的转置矩阵是幂等矩阵.

证明 因为,为的转置矩阵,则.所以是幂等矩阵.同理可证,均是幂等矩阵.若亦为数域上的幂等矩阵, 亦可得到上述结论.

性质5^[4]　设为幂等矩阵，且可逆，则为单位矩阵．

证明 因为是幂等矩阵,则.又因为是可逆矩阵,存在.于是在等式两边左乘,得,即为单位矩阵．

现对幂等矩阵的元素做一般化推广,不能由此误认为幂等矩阵要么是零矩阵,要么是单位矩阵,二者必居其一.设,则

,

要使为幂等矩阵,必须

,

即有

,

当且时,,,则为幂等矩阵.这只是一种情况,其它的可以类似的去讨论．

比如取,,,那么就是一个幂等矩阵;也是一个

幂等矩阵,这两个矩阵都不是零矩阵,也都不是单位矩阵.故零矩阵和单位矩阵是幂等矩阵的两种特殊形式. 显然，当与都是零矩阵或者都是单位矩阵时，等式与都成立，再推广到一般形式,当幂等矩阵与既不是零矩阵也都不是单位矩阵时，如果可逆,且也可逆，就有等式与都成立．这是因为：要使与恒成立,必须

==.

.

4 幂等变换的定义及其相关性质

性质7^[1] 设是数域上维线性空间的线性变换，且则有

.

.

证明令.即,则

那么反之由此可得

.

故那么综上.

，因此。.则有所以

.

设则存在使又因为所以从而得所以

性质8^[5] 设,是维线性空间的线性变换，若,且和都是的不变子空间,则.

证明 取的一组基,,,和的一组基,,,则,,,,,,,是的一组基,且在这组基下的矩阵为.

由于和都是的不变子空间,所以在这组基下的矩阵为,

于是由有.

性质9^[4] 设,则与有相同值域的充要条件,

与有相同核的充要条件是, .

证明 充分性 因为, ,则有且,故,即同理可，所以

必要性 因为所以存在,.由任意性,可得使,.同理可得

充分性 因为, ,使,从而 .可得.从而,于是.同理可得结论.故.

必要性 已知,对,由,得,即,由的任意性,可得结论,同样可得.

性质10^[2] 设是维线性空间.证明中任意线性变换可表示为一个可逆线性变换与一个幂等线性变换的乘积.

证明 任取的一组基,设是的任意一个线性变换,且.设秩,那么存在阶可逆阵,使

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5172字