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摘 要

：泰勒公式集中体现了微积分的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文是在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍了泰勒公式的一种新的的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、求高阶导数在某点的值、利用泰勒公式求两个数的最大公因数等方面的应用。

关键词：泰勒公式，证明，应用

Abstract：Taylor formula embodies the essence of all aspects in calculus, calculus and related fields has important applications. This paper is in the current textbooks of Taylor formula is proved based on Taylor formula, introduces a new method of proof, and summarized its in the  limit and derivative,  judging  series andgeneralized integral  convergence,  inequality proof, high order  derivative  at a point  value, using the Taylor  formula  for two  a number of the greatest common factor etc .

Keywords：Taylor formula ,prove, application

目 录

1 引言 …………………………………………………………………3

2 泰勒公式的定义 ……………………………………………………3

3 泰勒公式的几种证明方法 …………………………………………3

3.1 带有佩亚诺余项的泰勒公式的证明…………………………… 3

3.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明……………………… 4

4 泰勒公式的几种实际应用方法 ………………………………… 5

4.1 在求极限和导数方面的应用…………………………………… 5

4.2 在判定级数敛散性方面的应用………………………………… 6

4.3 用泰勒公式证明等式和不等式………………………………… 7

4.4 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值…………………… 8

4.5 利用泰勒公式求两个整数的最大公因数……………………… 9

总结……………………………………………………………………11

参考文献………………………………………………………………12

致谢……………………………………………………………………13

1 引言

泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.

2 泰勒公式的定义

定理1. 若函数在点存在直至阶导数，则有 ，

即

上式称为函数在点处的泰勒公式,称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺型余项.所以上式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.

定理2. 若函数在上存在直至阶的连续导函数在内,

存在阶导函数则对任意给定的,至少存在一点,使得

,

上式余项为

,,

称为拉格朗日型余项，上式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.

3 泰勒公式的几种证明方法

3.1 带有佩亚诺余项的泰勒公式的证明

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数.公式(1)反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1)在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计.公式(2)的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据.

证 设 , ,

现在只要证

.

由 可知，

,

并易知

.

因为存在，所以在点的某邻域内存在阶导函数.于是，当且时，允许接连使用洛必达（L"Hospital）法则次，得到

所以定理1成立.

3.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式的证明

证 作辅助函数

，

所以要证明的（1）式即为

,

不妨设，则与在上连续，在内可导，且

,

又因，所以由柯西中值定理证得

,

4 泰勒公式的几种实际应用方法

4.1 在求极限和导数方面的应用

用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替换来计算极限.我们知道等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次项.有些问题用泰勒公式和我们已经熟知的等价无穷小结合,问题就能进一步简化.

例1 求极限.

分析 本题可以用洛必达法则来求解，但要用四次，比较繁琐，这里我们就可以用带

有佩亚诺型余项的泰勒公式求解.由于极限式的分母为，我们用麦克劳林公式来表示极限的分子（取）

解

,

,

,

因而求得

.

例2 求极限.

解

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