论文总字数：5685字

摘 要

关键词: 均值不等式，柯西不等式，等周不等式，托勒密不等式，外森比克不等式

Abstract: In this paper, average value inequality，Cauchy inequality and some inequalities of elementary geometry were introduced. Their applications in plane geometry, solid geometry and analytic geometry were discussed.

Keywords: average value inequality，Cauchy inequality，isoperimetric inequality，Ptolemy inequality，Weitzenbock inequality

目 录

1 引言………………………………………………………………………5

2 均值不等式………………………………………………………………5

2.1 均值不等式的定义……………………………………………………5

2.2 均值不等式的几何应用………………………………………………5

3 柯西不等式………………………………………………………………9

3.1 柯西不等式的定义……………………………………………………9

3.2 柯西不等式的几何应用………………………………………………9

4 几何中的不等式 ………………………………………………………11

4.1 几何不等式的应用 …………………………………………………11

结束语………………………………………………………………………16

参考文献……………………………………………………………………17

致谢…………………………………………………………………………18

1 引言

不等式，就是用不等符号将两个整式连结起来所组成的式子.

不等式不仅可以在代数学问题中有很广泛的应用，而且还可以用来解决一些几何学问题.本文介绍了均值不等式，柯西不等式，归纳了在初等几何中出现的不等式，并且根据它们的不同性质，结合了实例，探讨了这几类特殊不等式在几何中的应用.

2 均值不等式

2.1 均值不等式的定义

设，,…,是个正数，一般的，我们记算术平均值为

，

几何平均值为

，

调和平均值为

，

平方平均值（均方根）为

.

则有，即调和平均值不超过几何平均值，几何平均值不超过算术平均值，算术平均值不超过平方平均值.这就是均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式.

2.2 均值不等式的几何应用

均值不等式是高中数学中非常重要的基本公式，应用十分广泛，若加以巧妙利用往往可以获得比较理想的解决问题的方法.下面我们从平面几何，立体几何以及解析几何的角度来分别探讨均值不等式在几何中的应用.

根据定义我们可以看出，在运用均值不等式时，要注意：

(1) ，,…,均为正数；

(2) 这个正数的几种形式的和或积为定值；

(3) 当且仅当这个数相等时等号成立.

这三个条件我们简称为“一正二定三相等”，只要当他们均满足时我们才能使用均值不等式.其证明方法众多，这里就不加以赘述.对其推广及变形，也有很多.

例1 假设和的三条边及面积分别是;；则有

,

当且仅当和都是等边三角形时等号成立.

证明 设，分别为和的外接圆的半径，由正弦定理

，

，

可得

,,，

，

,,，

，

对应和,要证明

，

进而证明

，

将带入，得

，

进而有

，

利用三元均值不等式的性质我们可知，当

，

然后带入原式可得

,

即有

.

注1 由以上证明过程可以看出当且仅当和都是等边三角形时等号成立.因此这个结论是正三角形的一条性质.同时也是证明或判断一个三角形是否为正三角形的一个较好的方法.

例2 如图1，若半径为1，圆心为的圆内切于底面边长为的正四棱锥，试求当正四棱锥的最小体积时对应底边边长的值.

解 设该圆切面于,切底面正方形于，作垂直于于点，我们可以知道即为该正四棱锥的高,且,,三点共线，,,三点共线.由与的相似性可得

，

又，，可得

，

从而可解得，进而可得该正四棱锥的体积为

当且仅当即时等号成立.故当底面边长为时，该正四棱锥的最小体积为.

注2 由例2，我们知道运用配方、凑项的技巧为我们使用均值不等式创造了条件，这是我们以后在使用均值不等式中经常会遇到的处理方法.

例3 如图2，直线与抛物线:相交于,两点，固定点不变，若直线不过原点，即不会与原点重合，且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围.

解 设直线为，根据题意知，则可得，.再设,点坐标为,,因,,三点共线，可知亦即，则，从而可得.又由,在抛物线上，即满足，，所以可得

，

分别过,作⊥轴，⊥轴，垂足分别为,，由，，之间的相似性可得

而由均值不等式可得 ，当且仅当，亦即直线平行于轴时等号成立.但此时直线与轴无交点，不符合题意，因而不可取到等号.故本题的取值范围是（2，）.

3 柯西不等式

3.1 柯西不等式的定义

设,,…, , ,,…, 均为实数，则

,

即

,

当且仅当时等号成立，其中为常数，.这就是我们所说的一般型柯西不等式.

注3 当时，柯西不等式可化为.

3.2 柯西不等式的几何应用

例4 如图3所示，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的点直角边长是1，在三角形中任意取,过分别引三边的平行线，与各边围成以为顶点的三个三角形，求这三个三角形的面积和的最小值和达到最小值是点的位置.

解 由题意可得,边所在的直线方程为，然后设点的坐标为，则以点为公共顶点的三个三角形的面积之和为

，

剩余内容已隐藏，请支付后下载全文，论文总字数：5685字