序列{Sn}的若干递推公式
2023-06-20 09:10:52
论文总字数：4616字
摘 要
本文引入并研究了类似于Euler数的序列{Sn}的性质，并建立了一个包含{Sn}的反演公式。特别地，我们得到了{Sn}的一些递推公式。关键字：序列{Sn}，母函数，反演公式，递推公式
Abstract: In this paper we introduce the sequence {Sn}, which is analogous to Euler numbers, and investigate the properties of {Sn}. We also establish an inversion formula involving {Sn}. In particular, we obtain some recurrence formulas for {Sn}.
Keywords: the sequence of {Sn}, generating function, inversion formula, recurrence formula
目录
1 引言..........................................................4
2 包含的反演公式 .............................................5
3 序列的若干递推公式 .......................................7
结论 17
参考文献 18
致谢 19
1 引言
著名的Euler数由如下初值和递推关系给出：
, ,
这里为不超过的最大整数。Euler数有许多性质和应用，参见。中孙智宏引入类似Euler数的序列:
, ,
并在中研究了序列的性质。
本文引入与，类似的序列，并研究包含的恒等式和反演公式。
设序列由
(n=0,1,2,...)
给出，通过简单的计算我们得到：
.
本文主要研究包含的若干恒等式。我们首先证明的母函数为
，
然后利用母函数获得包含的如下反演公式：
，
我们还建立了的若干递推公式， 如有：
（1.1）为正偶数时，
（1.2）为正奇数时，
（1.3）为正整数，为正奇数时，
其中与是如下定义的Fibonacci序列和Lucas序列：
，
.
2 包含的反演公式
定理2.1 当时，.
证明:当时，. 因为
=，
故 .
推论2.1 当为正整数时，.
证明：因为
，
所以,故 .
定理2.2 对任意序列,，我们有如下反演公式：
.
证明：若，则
，
故有
，
由此利用定理2.1得
，
即 ，故比较项系数得.
若，则
，
由此利用定理2.1得
，
从而有
,
进而有
，
所以
，
故比较项系数得.
3 序列的若干递推公式
定理3.1 设为正偶数，则
.
证明：在定理2.2中令，则有
，
因为，所以
于是定理得证.
定理3.2 设为正奇数，则
.
证明：在定理2.2中令，则有
，
因为,所以
于是定理得证.
定理3.3 设为正整数，为正奇数，则
.
证明:在定理2.2中令，则有，
因为 ，所以
于是定理得证.
定理3.4 设为正奇数，则
.
证明:在定理2.2中令，则有，
因为，所以
于是定理得证.
定理3.5 当为自然数， 为复数时，有
.
证明：在定理2 .2中令，则有
，
因为,所以
.
于是定理得证.
定理3.6 当为自然数时，有
.
证明：在定理2.2中令，则有，
因为，所以
，
从而有.
于是定理得证.
设为Bell数,即个物件的划分方法，熟知
，
定理3.7 当为自然数时，有
.
证明：在定理2.2中令，则有，
因为,所以
，
因此有.
于是定理得证.
定理3.8 当为自然数时，有
.
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