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摘 要

幂级数有许多良好的性质：诸如 四则运算性质，连续性，可微性，可积性等.熟练掌握这些性质并能合理、巧妙应用,在解答有关级数类题目中往往会起到事半功倍的作用.本文将系统总结和探讨应用幂级数的性质分析和解答有关级数问题.

关键词：幂级数，性质，应用

Abstract：The power series has many good properties such as: four operations in nature, continuity, differentiability and integrability etc.. Master these properties and can reasonably and skillfully applied in answering questions about the topic in the series often play a multiplier effect. In this paper, the system is summarized and discussed in this paper. The properties of power series are analyzed and the series problems are solved.

Key words：Properties ， power series ，Problem solving

目录

1引言............................................................4

2利用幂级数解决求导问题..........................................4

3利用幂级数解决极限问题..........................................5

4利用幂级数解决常数项级数和问题..................................6

5利用幂级数求函数的幂级数展开式..................................7

6利用幂级数的近似计算问题........................................9

7利用幂级数计算函数某一点的n阶导数.............................10

8利用幂级数计算积分问题.........................................11

结 论 ........................................................12

参 考 文 献.....................................................13

致 谢.........................................................14

1 引言

幂级数是高等数学中的一项非常重要的内容环节，它的应用非常广泛.基本初等函数在一定范围内可以展开成为幂级数，它本身具有很多方便的运算性质，在一般教科书中直接讲诉了它的近似计算以及展开时等方面的内容，却较少提及它在其他方面的应用，而事实上幂级数的函数应用非常广泛，比如可以借助幂级数解决求导问题，极限问题，积分问题等等一系列的问题，所以利用好幂级数性质对于高等数学的解题应用具有重要意义。因此本文将探讨和总结幂级数的性质在解题中的应用.

幂级数在解题中的具体运用如下：利用幂级数解决求导问题、利用幂级数解决极限问题、利用幂级数解决常数项级数和问题、利用幂级数近似计算问题、利用幂级数计算函数在某一点的n阶导数、利用幂级数计算积分问题.

2 利用幂级数解决求导问题

利用幂级数能够快速有效的解决常见的函数求导问题,熟练掌握利用幂级数的求导方法对于求一些函数导数的问题有着重要意义.

例1 求 的n阶导数.

解 因为

所以

进而我们得到

3 利用幂级数解决极限问题

极限理论是高等数学的基础，极限可以通过多种方法解决，除了基本的极限四则运算法则夹逼法则，洛必达法则，幂级数的方法属于其中较为容易操作的一种有效的解决方法，而且相比较于其他方法，相对容易掌握.

例2 求极限.

解 由于sinx在处幂级数展开式为

又当 时，，因此

4 利用幂级数解决数项级数和问题

数项级数主要内容是判别其敛散性以及它在收敛区间内的求和问题，利用幂级数的性质，幂级数在收敛区间内可逐项求导逐项求积分可计算幂级数的和.

例3

解 因为

所以

收敛域为

令

则

所以

即

（一阶线性微分方程）

解得

故有

例4 求级数的和函数.

解 容易求得级数的收敛域为

下面利用逐项求积分的方法来求级数的和函数，设

对积分得

再对积分，得

因此

1. 利用幂级数求函数的幂级数展开式

如果能在的某邻域上等于其泰勒级数的和函数，则函数在的这一邻域上展开称泰勒级数，并称等式

的右边为在处的幂级数展开式，或者叫做泰勒展开式.

例5 求函数的展开式

解 由于

所以的拉格朗日型余项为

显见

因而.由定理得到

例6 函数的各阶导数是

从而所以的麦克劳林级数是

（1）

用比式判别法容易求得级数(1)的收敛半径，且当时收敛；当时发散，故级数（1）的收敛域为，现在讨论在这收敛区间上它的余项的极限情形.

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