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摘 要

多项式理论是高等代数的重要组成部分,而不可约多项式是多项式中的重要概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判定方法进行整理归纳.同时给出了判定不可约多项式的一些方法,最后研究了不可约多项式判别的一些实际应用.

关键词：不可约多项式，判定方法，应用

Abstract： The theory of polynomial is an important point of advanced algebra.The irreducible polynomial is an significant notion of polynomials.In this paper，we classify and draw a conclusion about the judgment methods of irreducible polynomials over rational number field.At the same time,the paper puts forward some judgments on the rational number field methods for judging irreducible polynomials.In the end ,we give some applications about the judgment methods of irreducible polynomials.

Keywords：Irreducible polynomial , Judgment method ,Application

目 录

1 绪论……………………………………………………………4

2 多项式不可约的相关概念……………………………………4

3 有理数域上不可约多项式的判定方法及应用………………5

3.1 有理根判别法………………………………………………5

3.2 艾森斯坦判别法……………………………………………6

3.3 奇次多项式的判定方法……………………………………10

结论………………………………………………………………12

参考文献…………………………………………………………15

致谢………………………………………………………………16

1 绪论

形如表达式,其中,称为系数在数域中的一元多项式.在高等代数中，多项式理论占有重要地位,而不可约多项式是多项式中的重要概念.多项式是否可约与数域密切相关,而研究多项式的可约性着重于研究有理数域上的多项式的可约性.本文主要整理归纳有理数域上不可约多项式的判定方法.研究发现,判断有理数域上多项式是否可约的问题,最终都可以等价地转化为在整数域上是否可约的问题.文献[1]中给出了艾森斯坦判别法,但有很多在有理数域上不可约的整系数多项式无法直接用艾森斯坦判别法判别,即满足判别法中的素数不总存在.若对于某一多项式找不到这样的一个素数满足艾森斯坦判别法中的条件,则可能在有理数域上可能是可约的，也可能是不可约的,故艾森斯坦判别法有一定的局限性.因此本文给出了有理根判别法，艾森斯坦直接判别法,间接判别法及几个推广定理.

2 多项式不可约的相关概念

定义2.1^[1] 如果有数域上的多项式使等式成立，则称在数域上多项式整除,.

定理2.1^[1] 任意两个在数域上的多项式,,其中不等于0,整除的充要条件是除以的余式为零.

下面介绍整除性的几个常用的性质：

性质1.1 如果整除,整除,那么,其中为非零常数

性质1.2 如果整除, 整除,那么整除（整除的传递性）

性质1.3 如果整除,,那么整除,

其中是数域上任意的多项式.

定义2.2^[1] 若一个整系数多项式的所有系数互素,则叫做一个本原多项式.

定义2.3^[1] 设是有理数域上的一个多项式,若的系数不全是整数,则以系数分母的一个公倍数乘,就得到一个整系数多项式.那么与等价.显然,与在有理数域上是同时可约的或是同时不可约多项式.

定义2.4^[1] 数域上次数大于或者等于1的多项式称为域上的不可约多项式,如果它不能表成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积.

不可约的判定在有理数域上整系数多项式中是比较困难的一个问题,我们一般较难掌握.以下一章将对其判定方法及其应用作一系统归纳.

3 有理数域上不可约多项式的判定方法及应用

3.1 有理根判别法

定理3.1^[1] 设

,

是一个整系数多项式,而是它的一个有理根,其中互素,那么必有整除,整除.特别的,如果的首项系数 ,那么的有理根都是整根,而且是的因子.

对于二、三次整系数多项式,判定其在有理数域上不可约,只需验证该多项式所有可能的有理根都不是多项式的根即可.

例1 判断 在有理数上是否可约.

解 可能的有理根是:1,.利用综合除法可判定:1都不是的有理根,故在有理数域上不可约.

例2 判断 在有理数域上是否可约.

解 令

，

则可能的有理根是:.利用综合除法可判定: 都不是的有理根.故在有理数域上不可约，即在有理数域上不可约.

例3 判断 在有理数上是否可约.

解 可能的有理根是:1,2,7.利用综合除法可判定:1,-2,7都不是的有理根,而2是的有理根.故是有理数域上可约多项式.

但当整系数多项式的次数大于或者等于四时,若其没有有理根，就不能判别该多项式在有理数域上是否可约.

例4 判断 在有理数域上是否可约.

解 可能的有理根是：1,2,4. 利用综合除法可判定: 1,2,4 却都不是的有理根.由此我们判断在有理数域上不可约,然而却在有理数域上是可约的：.

例5 试求以为根的有理系数的不可约多项式.

解 设，且以为根，则根式，，也一定是的根.这时令

下证在上不可约.由于如果有有理根，则必为，但都不是的根.因此不可能分解为一个一次式与一个三次式之积.

其次，如果在上分解为两个二次式之积，那么必可在上分解为两个二次式之积，即

（1）

其中.比较（1）式两边系数得

上述方程无解，从而不可能分解为两个二次式之积.

综上可知在上不可约，即为所求.

所以如果一个整系数多项式的次数大于三,即使能判定其没有有理根,也不能说其在有理数域上不可约.因此,对于大于三次的整系数多项式,可以考虑下面的判别方法.

3.2 艾森斯坦判别法

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