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摘 要

本文主要研究半正定矩阵在多元函数极值中的应用. 我们首先研究了导数以及正定矩阵在多元函数中的应用，然后在论述它们之间联系的同时进行对比研究. 接着研究了判断极值问题的必要条件，充分条件以及判断正定矩阵的充要条件，得到了半正定矩阵决定多元函数的极小值，半负定矩阵决定多元函数的极大值，不定矩阵不决定极值.

关键词：二次型，半正定矩阵，多元函数极值

Abstract：This thesis mainly researches the application of positive semi-definite matrix in the determining of extremum of multivariate functions. We first study the application of derivative and positive definite matrix in multivariate functions, then study the relationship between them, and at the same time, investigate the comparation between them. Afterwards, we establish the necessary conditions and necessary conditions for judgment of extreme problems, and give the sufficient and necessary conditions for judgment of positive definite matrix. The results show that positive semi-definite matrix can determine the minimum value of multivariate function, negative semi-definite matrix can determine the maximum value of multivariate function, and indefinite matrix can not determine extreme points.

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Keywords：quadratic, positive semi-definite matrix, multi-function extreme

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目录

1前言 6

2相关知识 6

3相关例题 13

结论 14

参 考 文 献 15

致谢 16

1 前言

在《数学分析》这门课程中，多元函数的极值问题是一个非常重要而且涉及到的知识点相对较多的学习点. 在解决多元函数的极值问题的过程中，通常会选择利用导数、极值的定义以及矩阵的正负性进行解决，这类方法运用起来非常的方便. 事实上，半正定矩阵的相关性质也可以应用到多元函数极值问题的研究中. 但是这一部分知识通常在学习中容易被忽略. 在运用矩阵解决多元函数极值问题时，一般需要结合二次型进行解决. 本文将主要介绍半正定矩阵在多元函数中的应用，并借助二次型来解决多元函数极值问题.

2 相关知识

定义符号：表示函数对自变量的求导.

2.1 极值的充分条件^[1] 设的稳定点，则有：

（1）当时，在取得极小值；

（2）当时，在取得极大值；

（3）当时，在不取得极值；

（4）当时，不能肯定在点是否取得极值.

证明：熟知正定矩阵对应的顺序主子式是全大于0，负定矩阵对应的顺序主子式一阶是小于0的，二阶是大于0的.故函数对应的黑赛矩阵是正定的所需条件为

.

函数对应的海塞矩阵是负定的所需条件为

.

函数对应的海塞矩阵是不定的所需条件为

.

函数对应的海塞矩阵是不确定的所需条件为

.

证毕.

2.2 极值的必要条件^[1] 若点是函数的极值点的必要条件是

.

证明：若点是函数的极值点，则点是函数的驻点.

那么就有函数在点处对于每一个自变量求导均为0,从而得到

.

证毕.

2.3 极值的充分条件^[1] 设函数在任意的点有一阶，二阶的偏导数，且，则

（1）当是半正定矩阵时，在点取得极小值；

（2）当是半负定矩阵时，在点取得极大值；

（3）当是不定矩阵时，在点不取得极值；

证明：当是半正定矩阵时，任意取定点.沿任何过点的直线

根据函数取得极值的充分条件知.

再根据

和，知在点取得极大值.

当是半负定矩阵时，对于任意的点，对于沿任何过点的直线

根据函数取得极值的充分条件知，再根据

又，知在点取得极小值.

当是不定矩阵时，假设函数在点处取得极值，不妨设为极大值.那么对于任意过点的直线

在也取得极大值.

根据函数取得极值的充分条件知是不可能的，否则在处取得极小值,从而.然而

说明必然是半负定.

同理可证若函数在点处取得极小值，必然是半正定.

换个角度说，就是函数在点处取得极值时，必然是半正定矩阵或者是半负定矩阵,这与假设是矛盾的.

证毕.

2.4 极值点^[1] 设函数在点的某邻域内有定义.若对于任何点,成立不等式.则称函数在点取得极大（或极小）值，点成为的极大（或极小）值点.

2.5 稳定点^[1] 设函数在点存在偏导数，若函数满足

，

则称点为函数的稳定点.

2.6 梯度^[1] 若函数在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记做.

2.7 极值的充分条件^[1,2] 设函数在点的某邻域上具有二阶连续偏导数，且是函数的稳定点，则：

(i)当是正定矩阵时，在点取得极小值；

(ii)当是负定矩阵时，在点取得极大值；

(iii)当是不定矩阵时，在点不取得极值；

证明：根据条件，得到函数在点的二阶泰勒公式为

.

当是正定时，对任意的有二次型

,

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