论文总字数：17462字

摘 要

：本文提出并研究了一个环境污染中的随机捕食者-食模型. 我们首先研究了模型全局正解的存在唯一性和有界性. 然后我们对捕食者与食饵分别建立了灭绝、非平均持久与弱平均持久的充分条件，得到了每个物种弱平均持久与灭绝的阈值. 最后，我们研究了模型解的全局渐进稳定性. 结果揭示了随机因素越多，物种越容易灭绝.

关键词：环境污染，随机因素，持久性，灭绝性

Abstract: In this thesis, a stochastic predator-prey populations model in polluted environments is proposed and investigated. We first study the existence, uniqueness and boundedness of the global positive solution. Then we establish the sufficient conditions for extinction, non-persistence in the mean and weak persistence in the mean of the predator and prey populations.The threshold between weak persistence in the mean and extinction for each species is obtained. Finally, we study the global asymptotic stability of the solution. Our results reveal that the more the number of random noises, the easier the species go to extinction.

Keywords: environmental pollution, stochastic noises, persistence, extinction

目 录

1 引言 4

2 预备知识 6

3 解的存在性与唯一性 8

4 解的有界性 10

5 生存性与灭绝性 15

6 解的全局渐进稳定性 21

7 数值模拟 24

结论 28

参考文献 29

致谢 32

附录 33

1 引言

随着现代工业、农业的发展以及人类的其它活动,环境污染已经成为当今世界的一个非常重要的社会问题. 环境中的毒物严重威胁着生物的生存，这激发了许多学者研究种群在环境污染中的生存问题并建立物种持久生存与灭绝的阈值.

近年来，许多学者通过建立数学模型研究环境污染中生物的生存. Hallam及其同事^[1,2,3]在该领域做了开创性的工作. 他们提出并研究了若干环境污染中的确定性种群系统，在理论上建立了物种持久生存与灭绝的阈值. 从这以后，众多环境污染中的确定性种群模型就被陆续建立起来. 例如，Hallam和Ma^[4]，Ma et al. ^[5,6], Freedman 和Shukla^[7],Wang 和Ma^[8], Buonomo et al^[9], Srinivasu^[10] 以及He 和 Wang^[11] 提出了环境污染中的单种群模型，并得到了模型持久生存与灭绝的阈值. Liu和 Ma ^[12] 研究了环境污染中具有两个物种的Lotka-Volterra模型.Ma et al.^[13] 和 Pan et al.^[14] 将阈值结果分别推广到n维食物链和n维互惠系统中. Liu at al.^[15,16],Jiao et al.^[17] 以及Li 和Chen ^[18] 考虑了环境污染中具有脉冲毒素输入的种群系统.

然而，自然界中物种的增长不可避免地受到随机干扰因素^[19,20]的影响. 因此，研究环境污染中随机种群模型并揭示随机因素对种群动力学的影响显得尤为重要. 在这一领域，Gard^[21]作出了开创性的贡献，他首先提出了具有毒素影响的随机单种群模型，并在生物体内毒素的浓度是一个常数的假设上，研究了模型的动力学性质. 此外，Liu 和Wang^[22]得到了环境污染中随机logistic模型持久生存与灭绝的阈值. 由于环境污染中的随机种群模型在理论与实践中都尤为重要，因此其受到了很大的关注并被广泛的研究^[23~29].特别的，考虑到捕食者-食模型是种群生态学领域中一个非常重要的模型，Wang^[24]研究了如下的环境污染中的随机捕食者-食饵模型：

(1)

其中代表时刻食饵物种的数量；代表时刻捕食者的数量；代表物种的自然增长率；代表物种对体内毒物浓度的剂量反应参数；代表时刻生物体内毒物的浓度；是物种的种内竞争系数；表示捕获率；表示食物的转换率；和是两个定义在完备的概率空间上独立标准的Brown运动，是滤子并且满足通常条件（右连续且关于是适应的，包含所有零集）；表示随机干扰的强度；参数和都是正常数，表示每单位质量生物体由环境对毒素的吸收率；表示每单位质量的生物体由食物对毒素的吸收率；表示资源中毒物的浓度；表示每单位质量的生物体对食物的摄取率；和分别表示生物体对毒物的分解率和排泄率；表示时刻环境中毒物的浓度；表示生物体由环境中对毒物的净吸收量；表示生物体由食物对毒物的净吸收量；表示由于机体代谢和排泄导致的毒物减少量；参数反映了环境对毒素的清理能力；表示时刻时对环境的毒物排放率；Wang^[24]得到了模型(1)中物种弱平均持久生存与灭绝的阈值.

在文献^[24]的基础上，我们发现了一些有趣的问题：

(1) 模型中假设影响参数和的随机因素之间相互独立. 然而，在自然界中,影响 和的随机因素之间可能相互独立也可能有关联^[19].例如，下雨对和可能都有影响.因此，如果和受到有相互关联的随机因素的影响，结果会怎么样呢？

(2) 有界性是种群模型的一个非常重要的性质，文献^[24]并没有研究模型的有界性.因此，在何种条件时模型的解是有界的？

(3) 在种群模型的研究中，模型解的全局渐进稳定性也是一个非常有意思的课题. 但是文献^[24]并没有考虑模型解的全局渐进稳定性.

本文的目的就是研究以上问题.假设受到个独立的标准Brown运动的干扰，我们可得如下的随机模型：

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