论文总字数：6929字

摘 要

关键词:向量，平面几何，立体几何，法向量

Abstract: In this paper, we summarize the definition, properties and elementary conclusions of the vector, and illustrate its applications in the proof questions of plane geometry and solid geometry.

Keywords: vector, plane geometry, solid geometry geometric, normal vector

目 录

1 前言 4

2 预备知识 4

3 向量在几何证题中的运用 5

3.1 向量在平面几何证题中的运用 6

3.1.1 两条直线垂直 6

3.1.2 不等式证明 7

3.1.3 等式证明 7

3.1.4 交点证明 8

3.1.5 图形证明 10

3.2 向量在立体几何证题中的运用 11

3.2.1 两条直线平行 11

3.2.2 直线和平面平行 12

3.2.3 两个平面平行 13

3.2.2 直线和平面垂直 15

3.2.4 两个平面垂直 15

3.2.5 长度关系 16

结 论 18

参 考 文 献 19

1 前言

相较于传统的综合分析法，向量方法在证明几何问题的过程中，具备快速解题、简化计算过程、缩小数值分析过程等多方面的优势. 本文就一些不同的几何问题进行运用向量方法举例说明、分析.

用传统的综合解析法证明几何问题，常常需要添加若干辅助线，通过几何结构的性质，逐层解释分析证明过程，步骤繁杂，使人难以理解. 实践研究表明，向量方法既能够求解三角函数、测量等计算问题，又能够快速有效地证明平面几何或立体几何中的几何学问题. 并且，运用向量方法可以将复杂的几何问题进一步简化，使其向量化、代数化、数量化，以便于证明几何问题.

合理地运用向量法证明相关的几何证题，有效地避免了思路的高度转化，避免添加若干辅助线，不依赖于坐标系统，只需要进行向量关系式之间的计算和求证，结合向量平行和垂直的性质，使得几何结构代数化、数量化，使得复杂的几何问题趋于程序化，更好地利用数形结合的概念，能够有效的简化问题的分析过程、数值更便于处理、提高证明问题的准确率等方面的优势.

从数学或物理学角度而言，既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢. 向量能够在平面或者空间上找出该向量所对应的点.

本文在已有文献的基础上，给出了几个与向量相关的性质和运用向量方法证明相关的几何问题，并给出了分析和简洁证明.

2 预备知识

为了方便读者阅读，我们把向量的一些相关定义列举如下：

定义1[^[1]] 既有大小又有方向的量叫做向量，或称矢量，简称矢.

定义2^[1] 如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量，所有的零向量相等，向量与相等，记做.

定义3^[1] 始点可以任意选取，只由模和方向决定的向量，叫做自由向量.自由向量以任意平行移动，移动后的向量仍然代表原来的向量.

定义4^[1] 平行于同一直线的一组向量叫做共线向量. 零向量与任何共线的向量组共

线.

定义5^[1] 实数与向量的乘积是一个向量，记做，它的模是；的

方向，当时与相同，当时与相反.

定义6^[1] 两向量， 的模和它们的夹角的余弦的乘积叫做、的数量积（也称内积、点积），记做或,即

.

定义7^[1] 两向量、的向量积（也称外积、叉积）是一个向量或，它的向量积与和都垂直，它的模是.

定义8^[1] 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量.

以下是向量的一些相关性质：

性质1^[1] 如果向量不共线，那么向量与共线的充要条件是可以用向量线性表示，或者说向量是的线性组合，即，并且系数被， 惟一确定.

性质2^[1] 如果向量，不共线，那么向量与，共线的充要条件是可以用向量，线性表示，或者说向量可以分解成，的线性组合，即，并且系数，被，， 惟一确定.

性质3^[1] 如果向量，，不共面，那么空间任意向量与，，共面线性表示，或者说空间任意向量可以分解成，，的线性组合，即，并且系数，，被，，，惟一确定.

性质4^[1] 向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.

性质5^[1] 若平面的法向量为，直线的方向向量为，直线与平面的夹角的正弦为.

性质6^[1] 两向量与相互垂直的充要条件是.

性质7^[1] 两向量与共线的充要条件是.

3 向量在几何证题中的运用

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