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摘 要

关键词: 微分; 积分; 不等式

Abstract : The Proof of Inequalities is an important object of study during mathematics, It"s certification methods with strong skills and comprehensive. In this paper, focusing on discussing higher mathematics to prove inequality with the use of calculus.

Keywords: Differential; Integration; Inequality

目　录

引言 4

1微分在证明不等式中的应用 4

1. 1 利用可导函数的单调性 4

1. 2 利用微分中值定理 6

1. 3 利用Taylor公式 8

1. 4 利用函数的极值与最值 10

1. 5 利用函数的凹凸性 12

2. 积分在证明不等式中的应用 13

2. 1利用积分性质 13

2. 2 利用积分中值定理 14

2. 3 利用变限积分函数 15

2. 4 利用Schwartz不等式 17

结论 18

参考文献 19

致谢 20

引言

不等式是数学研究以及学习中的重要内容之一, 它的证明在数学中起着重要作用, 有着不可替代的地位. 由于有些不等式本身较为抽象, 逻辑性较强, 故而其证明非常灵活, 证明方法多种多样. 方法因题而变, 无固定模式, 技巧性强.

运用初等数学中的一些知识能够证明一些基本的不等式, 然而在高等数学中, 我们就需要借助高等数学的知识——微积分就是一种实用的证明不等式的方法, 因而微积分思想在不等式的证明中得到了充分体现.

证明不等式的方法主要是根据不等式的性质和已知的恒等式进行合乎逻辑的等价变化, 我们常用的两种基本方法——比较法和公式法, 在学科教学2010年02期上, 季泉先生就发表过一篇有关的文章《不等式证明的几种常见的方法》, 再譬如2011年06期的试题研究, 曾令福先生发表的《不等式证明的常用方法》上也谈到这类问题.

比较法是最简单明了的证明不等式的方法, 为了进一步研究不等式的证明, 我们又引入了另一种方法——公式法, 即利用常用的不等式来证明, 常用的不等式有:算术平均和几何平均不等式、Bernoulli不等式、Cauchy不等式、排序不等式等. 在应用中, 当我们在利用公式法来证明不等式的时候, 必须注意这些重要不等式所需要的条件, 以及有时需要进行适当的处理, 例如变形等, 来凑成重要不等式.

除了已经介绍的两种方法外, 还有其他一些方法（如:换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等）也能够解决初等数学中的多数不等式的证明, 但对于一些不等式的证明, 单靠初等方法是不够的. 因此, 我们就需要用到高等数学中的知识——微积分来进一步进行不等式的研究. 下面就来讨论微积分在证明不等式中的应用.

1微分在证明不等式中的应用

微分在证明不等式中的主要方法有函数的单调性, 函数极值与最值法, 微分中值定理, 函数的凹凸性等, 下面就结合一些常见的例题分别谈谈以上方法.

1. 1 利用可导函数的单调性

定理1. 1. 1 设函数在区间上可导, 则在上递增（减）, 充要条件是

.

定理1. 1. 2 若函数在上可导, 则在上严格递增（递减）的充要条件是

(i)对一切, 有

;

(ii)在的任何子区间上.

对于该种方法, 我可以总结出使用函数单调性证明不等式的一般步骤:

（1）移项（或等价变形）使得不等式的一端为0, 另一端作辅助函数;

（2）讨论的导函数的符号来确定在给出的区间上的增减性;

（3）根据函数的单调性以及区间端点处的函数值即可证明不等式.

其中步骤（1）是关键, 作出适当的辅助函数, 值得注意的是步骤（2）, 讨论的导数的符号, 有时一阶导数的符号不能够判断, 这就需要判断其二阶导数的符号, 倘若二阶导数仍旧不能够判断, 再求其三阶导数, 重复上述过程！

注意:利用函数的单调性是证明不等式的常用方法之一, 与之类似的是利用函数的极值与最值, 但是这里比较的是极值与端点值, 而不是0与端点值.

例1设对一切有＜且, 证明:当＞时, 有＞, 而当＜时, 有

＜.

证明: 设, 则

＞,

即是增函数, 且

,

故当＞时, 有

＞,

即

＞,

当＜时, 类似可得

＜.

例1可以作为一般定理引用, 再利用归纳法, 可以推广到一般形式:设与次可微, 对一切有

＞,

且

＞, ,

则当＞时, 则

＞;

而当＜时, 则

＜.

下面, 我们来看一个更为具体的例子:

例2 证明不等式:

＜＜＞.

证明: 设则

,

设

则

,

于是

＞＞,

＞＞,

所以在 上是单调增的, 因此, 当＞时, 有

＞,

＞,

于是

＜＜＞.

1. 2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有Rolle中值定理, Lagrange中值定理, Cauchy中值定理.

定理1. 2. 1 （Lagrange中值定理） 若函数满足如下条件:（i）在闭区间 上连续; （ii）在开区间上可导; 则上至少存在一点, 使得

. (2)

定理1. 2. 2 （Cauchy中值定理） 设函数和满足:（i）在上都连续;（ii）在

上都可导; （iii）和不同时为零; （iv）, 则存在, 使

. (3)

由Lagrange公式特点可以看出, Lagrange中值定理适用于证明含有函数及其导数, 出现函数之差, 自变量差及的表达式的不等式. 一般来说, 应用最广泛的是Lagrange中值定理.

应用Lagrange中值定理证明不等式的步骤:

①构造函数, 并确定对应区间;

②对在上使用Lagrange中值定理;

③利用与之间大小关系, 依据题中所给出的条件, 利用压缩映像定理放大或缩小, 从而推理得到不等式.

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