两类曲面积分的关系及其应用
2023-07-19 08:50:40
论文总字数：5101字
摘 要
在高等数学中，曲面积分是一类具有特殊实际意义的重要积分，也是物理学、电磁学、流体力学中处理问题的重要工具，有着极其广泛的应用。本文将从两类曲面积分的定义出发，研究两类曲面积分的实际背景，求解，并深入研究两类曲面积分之间的关系，对它们在求解曲面积分的计算方面做一些推广，并探讨如何利用两类关系去解决一些其他问题．关键词：第一型曲面积分，第二型曲面积分，关系，应用
Abstract： The surface integral is a kind of important integral in higher mathematics, because it has special practical significance, and it was the important tools to deal with the problems such as physics, fluid mechanics, electromagnetism, So it has the extremely widespread applications. In this article, we start from the definition of two types of surface integrals, introduce the actual background and solution of two types of surface integrals. Then the relationship between the two types of surface integrals is studied, some applications are given on how to use it to solve other problems.
Keywords：first type surface integral, second type surface integral, relationship, applications
目 录
1 引言 4
1．1 两类曲面积分的概念 4
2 两类曲面积分之间的关系 4
2．1 两类曲面积分之间的联系 4
2．2 两类曲面积分之间的关系的应用 7
结 论 11
参 考 文 献 12
1 引言
1．1 两类曲面积分的概念
概念1：形如的积分被称为第一类曲面积分，类似于第一型曲线积分，质量在某个曲面块上时，该曲面块的质量是
表示各小块曲面直径的最大值，趋于零就意味着被分割成的每一小块曲面都任意小，这也正是微积分思想的精华所在
概念2：形如或的积分称为第二类曲面积分，这种与曲面的侧有关的和式极限就是要研究的第二型曲面积分 。
2 两类曲面积分之间的关系
曲面积分可采取投影法、高斯公式及辅助曲面法进行求解．但对于一些特殊的曲面积分，则必须利用两类曲面积分的关系方能解决问题．下面就来研究两类曲面积分之间联系及其应用。
2．1 两类曲面积分之间的联系
和曲线的积分相同，在曲面测定确定以后，可建成两种曲面积分的联系。
设为光滑的曲面，且以上侧为正侧，为上的连续函数，曲面积分在的正侧来进行，所以有
（1）
由曲面积d的公式
其中是曲面的法线方向与轴正向的交角，它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，运用中值定理，在满足等式
或
.
于是
个部分相加后得
（2）
现以的法线方向与轴正向夹角的余弦，则由，可推得当上（2）式右端极限存在.因此由（1）式得到
（3）
在这个地方需要留意的是在改变曲面的侧时，在左边的积分需要变换它的符号，在右边的积分当中角要换成.因此也需要变换符号，因此在右边的积分当中也要相应的变换它的符号.同理可证：
（4)
在这当中分别是上的法线方向和轴正向和轴正向的夹角.一般地
=
因此，在确定了余弦函数以后，由（3），（4）或（5）式便成立了两种不同类型曲面积分的联系.
由此得到第一种联系,设P,Q,R是定义在光滑曲面S:,上的连续函数，以S的上侧为正侧，则
=.
例2.1 计算其中，取上侧.
解
=-
其中由于是的奇函数，又由对称性
.
由(3),(4),(5)式，我们还可以得到第二种联系：设S为光滑曲面，正侧法向量为，,在S上连续，则
= . (7)
例2.2 在这当中是由平面与所围的四面体表面以及取它的外侧为正向；
解
=
=.
例2.3 为球面的上半部分且取外侧为正向.
解 其中因此
=.
例2.4 其中是球面并取外侧为正向.
解
由对称性可知
因此只需计算即可.又因曲面在面的投影区域
,
则
-
=，
故
.
2．2 两类曲面积分之间的关系的应用
两种曲面积分的关系有:
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