论文总字数：4643字

摘 要

多元函数积分的计算一直是数学分析中的重点和难点，而利用对称性可以很大程度地简化多元函数积分的计算．本文将重点介绍对称性在多元函数积分中的一些性质，并通过具体的题目说明如何利用对称性来计算多元函数积分．

关键词：多元函数积分，对称性，计算

Abstract: Multivariable function integral is always the key point in mathematical analysis，and it is difficult for students，symmetry can greatly simplify the calculation of multivariate function integrals.In this paper, focused on some properties of symmetry in multivariate function integrals，some examples are given on illustrating how to efficiently use symmetry to calculate multivariate function integrals．

Keywords:multivariate function integral，symmetry，calculus

目 录

1引言……………………………………………………………5

2 积分区域的对称与函数的奇偶性在多元积分中的应用……………………5

2.1 积分区域的对称与函数的奇偶性在重积分中的应用……………………5

2.2 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲线积分中的应用…………………7

2.3 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲面积分中的应用…………………9

3 轮换对称性在多元积分中的性质与应用……………………………………10

3.1 轮换对称性在多元积分中的性质与证明…………………………………10

3.2 轮换对称性在多元积分中的解题应用……………………………………11

结论……………………………………………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………14

致谢……………………………………………………………………………15

１　引言

本文提到的对称性主要分为积分区域的对称和函数的奇偶性以及轮换对称性，而多元函数积分主要分为二重积分、三重积分和曲线（面）积分．本文就这些对称性在这几类多元函数积分中的应用进行讲解．

２　积分区域的对称与函数的奇偶性在多元积分中的应用

函数图形的对称性可用来简化积分．我们熟知的，在对称区间上的可积奇、偶函数的积分有

现在我们将这个应用推广到多元积分函数当中．

2.1 积分区域的对称与函数的奇偶性在重积分中的应用

性质1　 设在闭区域连续可积，且和具有某种对称（关于某直线或某点对称），则

1. 如果关于区域和是奇函数，即对，其对称点为，有），那么

；

(2)如果关于区域和是偶函数，即对，其对称点为，有），那么

．

根据多元函数积分的性质或Riemann积分的定义，不难验证．

例1 计算，其中=．

解 记，，则和关于轴对称（图1）．设，因为，由性质1知

．

与在二重积分中的结论类似，对称性也能够简化三重积分的计算．

性质2 设在闭区域连续可积，其中和具有某种对称，则

1. 如果关于区域和是奇函数，即对，其对称点为，有，那么

；

(2)如果关于区域和是偶函数，即对，其对称点为，有，那么

．

例2 计算，其中为．

解

．

因为关于平面对称且是相应于的奇函数,于是；又因为关于平面对称，于是与有相同的积分域和被积函数，所以．从而有

，

所以

．

在这个例题中，积分区域是对称的,但被积函数并不是想奇函数,利用“积分仅与积分域及被积函数有关,与积分变量所用的字母无关”的结论,变换积分变量的记号,转化被积函数的形式,进而简化了计算．

很多题目给出的被积函数的对称并不明显，但我们可以利用类似的方法“制造对称”，从而简化计算．

2.2 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲线积分中的应用

性质3 设为光滑或分段光滑平面曲线，且可以分为就有某种对称的两段和，则

1. 如果关于区域和是奇函数，那么

；

1. 如果关于区域和是偶函数，那么

．

性质4 设为光滑或分段光滑平面曲线，且具有某种对称性（关于某直线或某点对称）且对于上的对称点与恒有，则

．

　　例3 计算，其中为内摆线．

解 易得，关于轴、轴及原点都是对称的．若记

，，

则有

，

．

由性质3得

，

，

其中，为在第一象限中的一段，所以

．

又记，，因为关于对称，而且对于上的对称点与有，从而由性质4得．因此，求得

．

当然，第二型曲线积分的计算也适用类似性质．简单规定：在第二型曲线积分中，切线指向与积分曲线方向相同，当某点处的切线方向与轴正向成锐角时，在该点处为正，否则为负；符号作同样规定．

性质5 设为光滑或分段光滑平面曲线，且关于和是偶函数，则

(1)如果在上各点处的符号与其在上的各对称点处符号恒相反，那么

；

（2）如果在上各点处的符号与其在上的各对称点处符号恒相同，那么

．

例4 计算，其中为圆周，依逆时针方向．

解 令，，将分为与两个对称部分．对于对称点，有．但是，在的点处的切线方向与轴正向成钝角（即），而在的点处的切线方向与轴正向成锐角（即），因此

．

2.3 积分区域的对称与函数的奇偶性在曲面积分中的应用

不失一般性，这里以第一型曲面积分为例．

性质6 设光滑或分片光滑曲面，其中曲面和关于某平面对称，则

1. 如果关于曲面和是奇函数，那么

；

（2）如果关于曲面和是偶函数，那么

．

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