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摘 要

多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，并且有多种求法，本文首先介绍了多元函数的无条件极值和条件极值，并通过一些例题介绍了求多元函数条件极值的具体方法，着重介绍了标准量代换法，不等式法，直接带入消元法，拉格朗日乘数法。在一定的约束条件下求解最值问题实际上是求解条件极值问题，常用方法之一是拉格朗日乘数法。对于许多不等式的证明，我们可以将它转化成一定约束条件下求解最值问题，从而可以利用条件极值来证明，本文就通过例题来说明拉格朗日法在证明不等式上的具体应用。

关键词 ：多元函数， 拉格朗日乘数法， 不等式，条件极值，消元法

Abstract：Multivariate function conditional extreme value is an important part of multivariate function differential calculus, and there are many kinds of calculation methods, this paper first introduces the unconditional extremum and conditional extremum of function of many variables, and through some examples, this paper introduces the concrete method of multivariate function condition extreme value, introduces the standard substitution method, inequality method, directly to the elimination method, the Lagrange multiplier method. Under the condition of certain constraint solving the most value problem is actually solving conditional extreme value problem, one of the commonly used method is the Lagrange multiplier method. For many inequality proof, we can convert it to some constraint conditions to solve the most value problem, which can make use of conditional extreme value to prove that, in this paper, through examples to illustrate the Lagrange method to prove inequality on the specific application.

Keyword： Multivariate function, Lagrange multiplier method, inequality, conditional extreme value, the elimination method

目 录

1 前 言 6

2 多元函数条件极值 6

2.1 条件极值的定义 6

2.2 多元函数条件极值的求解方法 7

2.2.1 标准量代换法 7

2.2.2 不等式法 7

2.2.3 直接代入消元法 9

2.2.4 拉格朗日乘数法 10

3 在证明不等式中的应用 12

结 论 16

参考文献 17

致 谢 18

1 前言

多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中也有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题。条件极值问题也是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究，所以对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.

本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了标准量代换法，不等式法，梯度法，直接带入消元法，拉格朗日乘数法，介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。

不等式的证明也有多种多样的方法，但是用拉格朗日乘数法来证明一些不等式较为简明，且拉格朗日乘数法程序性较强，较容易掌握，其关键就是在证明的过程中选择适当的目标函数和相应的限制条件，就可以把不等式的问题转换为求多元函数极值的问题，本文也将通过例题来介绍用拉格朗日乘数法来证明一些不等式。

2 多元函数条件极值

在实际问题中有一种类型的极值问题，其极值点的搜索范围还受到许多条件限制。例如要设计一个容量为的长方体无上盖水箱，试问水箱长、宽、高各等于多少时，其所用的材料最少（即表面积最小）。设水箱的长、宽、高分别为则表面积为，定义域是，而且必须满足条件，像这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题。

2.1 条件极值的定义

函数在个约束条件 下的极值称为条件极值.

2.2 多元函数条件极值的求解方法

多元函数条件极值的求法是多元函数微分学的重要组成部分，下文研究的是标准量代换法，不等式法，直接带入消元法，拉格朗日乘数法解多元函数条件极值问题上的运用.

2.2.1 标准量代换法

求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.

例1 ^[1] 设,求的最小值.

解 取 为标准量,令,则( 为任意实数),从而有

，

等号当且仅当, 即时成立，所以的最小值为.

2.2.2 不等式法

不等式法^[2] 设是个正数，我们和分别叫做这个正数的算术平均值和几何平均值，分别记为，. 对于上述个正，有，当且仅当时，等号成立.这个不等式称为均值不等式.

例2 已知，，求的极小值.

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