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摘 要

调和级数是数项级数中的一类重要级数,虽然结构简单,但其发散性却不那么直观,本文中总结出了调和级数发散的几种证明方法,比如子序列法、柯西收敛准则、比较判别法、反证法、数形结合法、Raabe法、Johan Bernoulli法等；讨论了调和级数在一些问题中的应用,比如在高考题中的应用、在考研题中的应用、在竞赛题中的应用等等.

关键词: 级数，发散，比较判别法，数形结合，反证法.

Abstract: Harmonic series is a kind of important series among several series , although the structure is simple, its divergence is not so intuitive.In this paper , several methods to prrove the divergence of harmonic seriec are given, such as method of proof by subsequence、 Cauchy convergence criterion、comparative discrimition、 reduction to absurdiy、combination of numbers and shapes、Raabe discriminance、Johann Bernoulli discriminance; the application of harmonic series in some problems is discussed: for example the application of in the college entrance examination、the application in postgraduate entrance examination、the application in competition problems.

Keywords: series , divergence, comparative discrimination, combination of number and shapes，reduction to absurdity.

目 录

1 引言…………………………………………………………………………………………………… 3

1.1预备知识…………………………………………………………………………………………4

2调和级数发散的证明方法……………………………………………………………5

2.1利用子序列的证法…………………………………………………………………………5

2.2利用柯西收敛准则……………………………………………………………………………6

2.3 利用比较判别法……………………………………………………………………………6

2.4利用反证法…………………………………………………………………………………8

2.5 利用数形结合法…………………………………………………………………………9

2.6 利用Raabe判别法………………………………………………………………………9

2.7 利用Johan Bernoulli法…………………………………………………………10

3 调和级数的应用……………………………………………………………………………11

3.1在一道高考题中的应用………………………………………………………………11

3.2 在一道考研题中的应用………………………………………………………………13

3.3 在数学竞赛中的一类应用…………………………………………………………… 13

3.4 其他应用…………………………………………………………………………………15

结论……………………………………………………………………………………………………16

参考文献……………………………………………………………………………………………17

致谢……………………………………………………………………………………………………18

1 引言

调和级数是级数理论中一种比较重要的级数,教材中给出的发散证明方法较多,因此对其证明方法的进一步研究是极其重要的,这对熟悉调和级数,理解级数敛散性具有重要意义，本文用一些方法证明调和级数的敛散性，并对它在一些方面的应用进行论述.

1.1 预备知识

引理1^[1] (数列发散的柯西准则) 数列发散不是柯西列，即

有

.

引理2^[1] （级数发散的柯西准则）级数发散的充要条件是

引理3^[1] （比较判别法的不等式形式）若两个正项级数与满足关系式，则

(1)当级数收敛时，也收敛;

(2)当级数发散时，也发散.

引理4^[1] （比较判别法的极限形式）设对所有,

(1)若，则和同敛散;

(2)若，收敛，则收敛;

(3)若，发散，则发散.

引理5^[1]（Raabe 判别法）若是正项级数，存在某正整数及常数,若对一切,成立不等式

，

则级数发散.

注 事实上，由D"alembert比值判别法

,

必有

,

即D"alembert比值判别法是Raabe判别法的极端形式，或者说Raabe判别法是D"alembert比值判别法的推广.

引理 6^[1] (阿贝尔分布求和) 设为两组实数，若令

,

则有如下分部求和公式成立：

.

2 调和级数发散的证明方法

调和级数作为高等数学中级数的一个重要部分,虽然结构简单,但性质特别,为研究级数敛散性提供了重要的理论基础,也为判断级数敛散性发挥着一定作用,所以证明调和级数敛散性也显得极为重要.^[8]

2.1 利用子序列的证法^[2]

证 取级数的部分和序列的一个子序列，,

即

,,...,,…, ,…

由于

,

，

，

于是

，

，

故有

，

所以由级数收敛的定义得级数发散.

2.2 利用柯西收敛准则

证 设 ，若收敛，则对任何，，只要，对都有

.

现取则

，

因而不论是任何数都不能使时，

,

所以级数发散.

2.3 利用比较判别法

文献[3]中作者利用构造辅助函数及中值定理与比较法等原理给出两种证明方法.

(方法一)在证明之前我们先证明不等式

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