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摘 要

微分中值定理是微分学的基本定理. 本文主要介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的几种常见的证明方法，进一步给出了中值定理在有限区间上和无限区间上的推广形式，最后对微分中值定理在多元函数上的推广进行了一些研究.

关键词：微分中值定理，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理

Abstract: Differential mean value theorem is the basic theorem of differential science. In this paper we introduced several common proof methods of Lagrange mean value theorem and Cauchy mean value theorem, further gives the generalization form of mean value theorem on finite interval and infinite interval, and finally studies the generalization of differential mean value theorem on multivariate function.

Keywords: Differential mean value theorem，Rolle theorem，Lagrange mean value theorem， Cauchy mean value theorem

目 录

1 引言………………………………………………………………………………………………… 4

2 微分中值定理与证明……………………………………………………………………… 4

2.1 拉格朗日中值定理………………………………………………………………………… 4

2.1.1 拉格朗日中值定理的证明…………………………………………………………… 5

2.2 柯西中值定理…………………………………………………………………………………8

2.2.1 柯西中值定理的证明………………………………………………………………… 9

3 微分中值定理在一元函数上的推广………………………………………………… 11

3.1 罗尔定理的推广………………………………………………………………………… 11

3.2 拉格朗日中值定理的推广…………………………………………………………… 12

3.3 柯西中值定理的推广…………………………………………………………………… 15

4 微分中值定理在多元函数上的推广…………………………………………………16

结论……………………………………………………………………………………………………20

参考文献…………………………………………………………………………………………… 21

致谢……………………………………………………………………………………………………22

1 引言

罗尔定理是微分中值定理的基础定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和推广都是在它的基础上进行.

罗尔定理^[1] 若函数满足如下条件：

(1) 在闭区间上连续；

(2) 在开区间上可导；

(3) ，

则在上至少存在一点，使得

.

2 微分中值定理与证明

2. 1 拉格朗日中值定理^[1]

若函数满足如下条件：

(1) 在闭区间上连续；

(2) 在开区间上可导；

则在至少存在一点，使得

.

几何意义是：满足上述条件的曲线，必有，曲线在点 的切线平行于曲线两端点的连线.

拉格朗日中值公式的变形有下面几种形式：

，

，

，

.

（上述公式对，或均成立，而是介于与之间的某个定数）

2. 1. 1 拉格朗日中值定理的证明

证法一

要证

，

即证

，

令

为罗尔定理的结论.

令

，

可得

，

，

，

所以.

显然在上连续且上可导，所以成立.

故构造的函数为

， (1)

上式也可以写成

.

证法二

做满足拉格朗日中值定理条件的曲线，曲线的图像如下图所示:

为曲线上的一点，设曲线的两端点为对应的函数，设对应的函数，可知.

因为

，

所以有.

又因为，所以由得

，

解得

.

又因为有，故辅助函数为

， (2)

显然在上连续且上可导，满足罗尔定理的条件.

以入手分析时同理可得出辅助函数为

， (3)

故拉格朗日中值定理得以证明.

当我们将构造的辅助函数写成

， (4)

其中都为任意常数，显然满足罗尔定理的条件.

将公式 (4) 中的条件改写得

1) 时，即为公式 (1).

2) 时，即为

.

3) 时，即为

.

4) 时，即为

.

5) 时，即为

.

6) 时，即为公式 (2).

7) 时，即为公式 (3).

8) 时，即为

.

9) 时，即为

.

10) 时，即为

.

由上述可见，我们可以将公式 (2) 看做构造辅助函数的一般形式^[2].

证法三

利用行列式证明^[3]

.

已知在上连续，在内可导，所以在上连续并且在内可导. 显然.

由罗尔定理可知，，使得

，

由上式得

，

即

.

2. 2 柯西中值定理^[1]

设函数满足：

(1) 在闭区间都连续；

(2) 在开区间都可导；

(3) 不同时为零；

(4) ，

则存在，使得

.

几何意义是：把函数和写作为平面上的曲线，曲线上至少有一点平行两端点的连线.

2. 2. 1 柯西中值定理的证明

证法一

要证

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