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摘 要

函数零点问题的不仅在数学中的应用很广泛，它还在物理、计算机等方面都有广泛的应用. 本文主要研究的是函数零点在高考数学中的问题，给出了几种处理函数零点问题的方法，如定义、定理、构造函数等方法，并且对每一种方法都呈现了相应的例题.

关键词：函数零点，数形结合，单调递增，单调递减

Abstract：The problem of function zeros is not only widely used in mathematics, but also in physics and computer. This paper mainly studies the problem of function zeros in college entrance examination mathematics. Several methods of dealing with function zeros are given, such as definition, theorem, constructor and so on, and corresponding examples are presented for each method.

Keywods：zero point of function, combination of number and shape, monotone increasing and monotone decreasing

目 录

1 引言……………………………………………………………………………3

2 预备知识………………………………………………………………………3

3 函数零点的几种解决方法…………………………………………………4

3.1 定义法………………………………………………………………………4

3.2 函数零点的存在性定理判别法………………………………………4

3.3 数形结合法………………………………………………………………5

3.4 换元法………………………………………………………………………6

3.5 参数分离法………………………………………………………………6

3.6 构造函数法………………………………………………………………7

3.7 设而不求法………………………………………………………………8

3.8 几种特殊函数的零点问题……………………………………………9

结论 ………………………………………………………………………………11

参考文献…………………………………………………………………………12

致谢 ………………………………………………………………………………14

1 引言

所谓函数的零点，就是使得函数式的值等于0的相对应的的取值. 值得注意的是，函数的零点只是一个数值，而不是一个点，它是函数图像与坐标轴交点的横坐标. 函数的零点实质上也就是方程的根的问题，它们两个是一致的. 函数的零点问题是我们一直在探讨的问题，在古代的罗马、意大利以及我国，都有人研究零点相关问题. 如：意大利的卡尔丹诺提出了解决三次方程的“卡尔丹诺公式”，我国南宋时期的数学家秦九韶也在他编写的《数学九章》中发表了解决三次方程的求根公式.

零点问题不仅仅在数学中有着广泛的应用，它在物理、计算机等方面也都有广泛的运用. 例如在物理学中会有左半平面零点和右半平面零点，可以用它们是用来描述频率的快慢；在数字硅陀螺中带通调制器的设计中就是通过改变关键参数，改变噪声传递函数零点的带通调制器；零点能作为一个系统可以持有的最低的量也是在物理学中经常出现的.^[1] 在计算机中，表格系统中经常会运用函数零点的知识来处理一些实际数据；在进化神经网络分类器研究的方法中，有一种方法是通过确定信道传输函数零点与单位圆之间的最小距离，来得出待定参数的取值范围；在数学中一些著名问题也与函数零点有关，例如著名的黎曼猜想，一类复合差分函数零点的估计等等，这些都与函数零点相关. 除了一些著名问题之外，在高等数学中，我们还会遇到解决解析函数的几重零点问题，求多项式函数的零点，连续函数的零点等等.

正是由于函数零点在多个方面都有广泛的运用，才使得我们需要不断学习和探讨的内容. 本文主要探讨中学数学中相关函数零点问题，对中学数学之外的一些与零点相关的问题就不作深入阐述. 我们知道，函数零点问题是这些年来高考的热点，相关问题的题型灵活多样，解决方法灵活多变，它需要学生要有较强的数学思维和方法才能解决.

我们将如下组织论文，首先给出函数零点相关的简单性质，其次利用这些性质，探讨了解决函数零点常用的几种方法.

2 预备知识

定义 一般地，我们可以让函数的值为的自变量的值称为函数

的零点.

定理 若函数在区间上的图像是一条连续的、不间断的曲线，并且有，那么就称函数在上面有零点.

对于较麻烦的多项式，把其中的某个部分看作是一个整体，并且将它用一个全新的字母来替换，过程叫换元.

定义 假设函数 的定义域是，若在的一个区间D上面的任两个自变，当，有，就说明在区间D上是单调递增函数（或单调递减函数）.

定义 反证法指通过判断与论题相互矛盾的假设的真假来确认论题真假性的方法.

定义 超越式指的是不可以对变量的字母和数进行有限次的四则运算以及开方、乘方运算表示的解析式.

定义 函数 ，倘若存在一个不为0常数，对定义域中的任意的，都满足，则就叫做周期函数.

有了这些性质作为铺垫，我们接下来研究解决函数零点常用的一些手段.

3 函数零点的几种解决方法

3.1 定义法

当函数比较简单的时候，比如基本初等函数，我们可以用定义法来求它的零点，直接令其解析式为0，求出相应的，即为函数的零点.

例1 求函数的零点.

解 当时，令，则得到（不合题意，舍去）,当时，令，则得到. 综上:函数的零点为.

但是在解决实际问题的过程中，我们遇到的都是有一定难度系数的关系式，且我们难以直接求出它们的零点，这时候用定义法的话肯定是解决不了问题的，那这个时候就需要我们去用别的方法来解决问题.

3.2 函数零点的存在性定理判别法

函数零点的存在性定理判别法一般是用于求函数的零点的个数以及证明函数在某一个区间上有零点，故在处理这种问题的时候，我们可以直接地在它给我们的区间内取值，再根据上面的定理2中的知识点来进行下一步的计算.

例2 请求出函数的零点的个数.

解 当时，令，则有，当时，，由

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