论文总字数：8903字

摘 要

数学专业首先要学习的课程是数学分析，而数学分析中的定理离不开极限理论，所以我们必须要研究极限。研究极限首先要能够判断判断它是否存在，与其它数集不同，极限的相关运算对于实数集来说是封闭的，因此在实数集的基础上研究极限可以建立严格的极限理论。又因为完备性是实数集的基本特征，所以实数完备性在数学分析中是处于十分基础的地位。实数的完备性包含六个基本定理，虽然它们的形式是互异,但是相互等价,因此任意一个定理都能证明其余五个定理。本文主要给出实数完备性定理相互证明的具体方法。

关键字：确界原理,单调有界原理,区间套定理,聚点定理

Abstract: Mathematical analysis is the first course for mathematics majors, and the theorems in mathematical analysis can not be separated from the limit theory, so we must study the limit. To study the limit, we must first be able to judge whether it exists or not. Unlike other sets of numbers, the correlation operation of the limit is closed to the real set. Therefore, a strict limit theory can be established by studying the limit on the basis of the real set. Because completeness is the basic characteristic of real number set, real number completeness plays a very basic role in mathematical analysis. The completeness of real numbers includes six basic theorems. Although their forms are different from each other, they are equivalent to each other. Therefore, any theorem can prove the other five theorems. This paper mainly gives the concrete methods of proving the completeness theorem of real numbers.

Keywords: supremum principle, monotone bounded principle, interval nest theorem, convergence theorem

目 录

1 引言 4

2 证明 4

2.1 确界原理证明其余定理 4

2.2 单调有界定理证明其余定理 6

2.3 区间套定理证明其余定理 8

2.4 有限覆盖定理证明其余定理 10

2.5 聚点定理证明其余定理 13

2.6 柯西收敛准则证明其余定理 16

参考文献 19

致谢 20

1 引言

实数完备性的六个定理虽然出发的角度互异,但相互等价。

1. 确界原理:非空有上(下)界数集,必有上(下)确界.

2. 单调有界定理:在实数系中,单调有界数列必有极限.

3. 区间套定理:若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的点,使得 .

4. 有限覆盖定理:设是一个闭区间,为上的一个（无限）开覆盖,则从中可选出有限个开区间来覆盖.

5. 聚点定理:实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.

6. 柯西收敛准则:数列收敛对,,使得当时有.

2 证明

2.1 确界原理证明其余定理

1. 单调有界定理

证 见华东师大数学分析定理2.9^[1]

2. 区间套定理

证 任取一闭区间套,设为,则满足如下条件:

(i)；

(ii).

先证存在性.由闭区间套的条件可得数列非空有上界（任一都为其上界）.由确界原理知有上确界,记.下证.

显然.因为任一都为的上界,而上确界为最小上界,所以必有,存在性得证.下证唯一性.

设有不同于的点,满足,则

,

故.

3. 有限覆盖定理

证 任取闭区间,设它的无限开覆盖为.

令,中有有限个开区间能覆盖^[2].由于为上一开覆盖,故满足.取,,则中有可数个能覆盖的开区间,所以,又存在上界,故非空有上界.

根据确界原理得有上确界,设.下证.

假设,则,因为是上的开覆盖,所以有使得.取使得

,且,

那么中有可数个开区间来覆盖,这些开区间加上,得,与矛盾,故.

4. 聚点定理

证 任取一有界无限点集,设为,则点集是非空且有上下界的,由确界原理可知有上下确界,记,.如果,中有一个不是的孤立点,那么就是的一个聚点；如果,都不是的孤立点,令

,

则显然是非空且有上界数集,记,则对于,有,即包含中的无限个数,从而也包含中的无限个数,所由此可得是的聚点.

5. 柯西收敛准则

证 任取一收敛数列,令,则对,,使得当时,满足,,从而

.

任取一满足柯西条件的数列,设为,取,则,使得当时,有,从而,故有界.

要证收敛,则为无限数列,令

,

则中含有的无限多个点且上界为上界.由确界原理得,存在上确界,设为,故对,中至多含有的有限多个点,所以内有无限多个点,设这些点分别为且,取和中的最大数为,则当时,,且

,

故.

2.2 单调有界定理证明其余定理

6. 确界原理

证 任取非空有上界数集,取不小于的数集,令

,

由此可以得到单调递增且有上界数列.由单调有界定理知,有极限,设为,则为的上界,下证为最小上界.

假设不是最小上界,则对任意中的数,都存在正数使得,又因为使得

,

所以矛盾,从而有上确界.

同理可证为非空有下界时的情形.

7. 区间套定理

证 见华东师大数学分析定理7.1^[1]

8. 有限覆盖定理

证 任取一闭区间,设它的无限开覆盖为.在中取有理数使得能被中有限个开区间覆盖,把这样的有理数从小到大排列,构成数列,则数列为单点递增且有上界数列,由单调有界定理得数列有极限,设为,则

.

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