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摘 要

本文主要研究Filippov系统中各平衡点的分类介绍，Filippov系统又被称为右端不连续微分方程，但是因为在研究工具上的缺乏，所以右端不连续微分方程的理论研究起来非常的缓慢。Filippov系统中各平衡点及其分类介绍的研究只是Filippov系统中的一小部分。但是由于Filippov系统在电子系统，机械系统，反馈控制系统等很多的领域都有非常广泛的运用，所以研究Filippov系统中不同的平衡点有重要的理论意义和运用意义。本文主要介绍Filippov系统各个平衡点，诸如实平衡点，虚平衡点，边界平衡点以及伪平衡点的概念及其分类。

关键词： Filippov系统，实平衡点，虚平衡点，边界平衡点，伪平衡点

Abstract：This paper mainly studies the classification and introduction of equilibrium points in Filipov system. Filipov system is also called right discontinuous differential equation. However, due to the lack of research tools, the theoretical research of right discontinuous differential equation is very slow. The research on each equilibrium point and its classification in Filipov system is only a small part of Filipov system. However, Filipov system is widely used in many fields such as electronic system, mechanical system, feedback control system and so on, so it is of great theoretical and practical significance to study different equilibrium points in Filipov system. This paper mainly introduces the concepts and classifications of various equilibrium points of Filippov system, such as real equilibrium point, virtual equilibrium point, boundary equilibrium point and pseudo equilibrium point.

Keywords: filippov system, real equilibrium point, virtual equilibrium point, boundary equilibrium point, pseudo equilibrium point.

目录

1 前言 4

2 Filippov系统中各平衡点及其分类介绍 4

2.1 Filippov系统的定义 4

2.2 Filippov系统中各种平衡点的定义 5

3 具体Filippov系统平衡点类型分析 6

3.1 Filippov系统的表示 6

3.2 向量场, 各平衡点分析 6

3.2.1 实平衡点，虚平衡点 6

3.2.2 边界平衡点 7

3.2.3 研究系统边界伪平衡点 7

结 论 9

参 考 文 献 10

致 谢 11

1 前言

对于Filippov系统的研究最早可追溯到上世纪 20 年代 Carathéodory 所研究的一类特殊的右端不连续微分方程—Carathéodory微分方程^[1,2]。由于数学分析工具的限制, 在这段时期, 右端不连续微分方程理论的发展相当缓慢，发展至今依旧处于初级阶段。到了20世纪中后期，由于电器调节系统和工程技术中的不连续振动系统以及现代控制理论研究的需要，右端不连续系统理论的研究进入了一个新的时期^[3,5]。

特别是前苏联学者A. F. Filippov开创性的将微分包含理论引入到这一类动力系统的研究中，在其所定义的解的意义下，比较系统的分析了一些类型方程解的基本性质和稳定性^[4,8]。针对这类系统发展了比较丰富的平面系统定性理论以及部分三维和多维系统的定性理论，其主要思想大都被收集在Filippov的专著中^[9,10]。平衡点、周期解、拟周期解等各种形式解的存在性和及稳定性的研究，对Filippov系统在机械系统、电子系统、反馈系统等实际问题中的应用具有重要的理论意义和价值。

本文主要研究Filippov系统中各平衡点及其分类介绍，Filippov系统中的平衡点分为实平衡点，虚平衡点，伪平衡点和边界平衡点。本论文在第二章第一节主要介绍Filippov系统的定义，用数学模型来表示这个系统，并根据李导数来将这个系统分成四个研究区域，包括两个穿越区域，一个滑动区域，一个不稳定滑动区域，我们主要研究滑动区域，确定滑动向量场来研究Filippov系统中虚平衡点的稳定点。在第二节中我们主要介绍了Filippov系统中的各类平衡点，并说明各类平衡点的判断方法，以及各类平衡点的特性。我们具体研究Filippov系统中的各平衡点，通过计算观察各类情况满足的条件，通过矩阵求出相应的特征值，根据特征值的满足情况，分析Filippov系统中的各类平衡点的稳定性。

2 Filippov系统中各平衡点及其分类介绍

2.1 Filippov系统的定义

Filippov系统数学模型可表示为如下形式

(1)

其中表示状态变量，为参数，为分界面，对任意的

。

根据李导数定义，关于向量场的方向导数记为。解轨线与分界面的关系有以下三种情形，一是穿过分界面，二是从分界面的两边有限时间内到达分界面并沿分界面滑行，三是在有限时间内从分界面的两边离开或沿分界面滑行。我们可以借用李导数，用数学公式来描述所述的三种情形，

• 为穿越区域；
• 为滑动区域；
• 为不稳定滑动区域。

根据Filippov凸方法，确定滑动区域上的滑动向量场

(2)

2.2 Filippov系统中各种平衡点的定义

定义1.(实平衡点)倘若以下的条件有一个成立：

（1）当时,;

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