论文总字数：5355字

摘 要

含参量反常积分的一致收敛性是数学分析中的一个重要的知识点。本文结合典型例题总结了几种含参量反常积分一致收敛的判别方法，从而有利于对含参量反常积分的一致收敛性的相关知识点有更进一步的深刻理解。

关键词：含参量反常积分，一致收敛性，判别法

Abstract:The uniform convergence of parameter improper integral is an important knowledge in the mathematical analysis. Some discriminant methods of uniform convergence of parameter improper integral are summarized by some typical examples in this paper, which contributes to a deeper understanding of the knowledge about the uniform convergence of parameter improper integral.

Keywords:parameter improper integral,uniform convergence,discriminant method

目 录

1 绪论 4

2 含参量无穷限反常积分的定义 4

3 含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别方法 4

3.1 用定义法判别 4

3.2 用柯西一致收敛准则判别 5

3.3 用柯西判别法的极限形式判别 5

3.4 用魏尔斯特拉斯判别法判别 5

3.5 用狄利克雷判别法判别 6

3.6 用阿贝尔判别法判别 7

3.7 用确界方法判别 7

3.8 用确界法的极限形式判别 8

3.9 用比较法判别 8

3.10 用对数判别法判别 8

3.11 用归结原理判别 9

4 含参量瑕积分的定义 10

5 含参量瑕积分一致收敛性的判别方法 10

5.1 用定义法判别 10

5.2 用狄利克雷判别法判别 10

5.3 用阿贝尔判别法判别 11

5.4 用柯西收敛准则判别 11

结 论 13

参考文献 14

致 谢 15

1 绪论

含参量反常积分一致收敛性是数学分析重要的基本理论之一,本文回顾了几种常见的含参量反常积分一致收敛性的判别方法,例如柯西判别法、魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法等,并结合相关例题推广了某些含参量反常积分的一致收敛性的判别方法.

2 含参量无穷限反常积分的定义

定义1设函数定义在无界区域上,若对每一个固定的,反常积分

(1)

都收敛,则它的值是在上取值的函数,当记这个函数为时,则有

, (2) 称式(1)为定义在上的含参量的无穷限反常积分,或简称含参量反常积分.

3 含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别方法

3.1 用定义法判别

定义2 若含参量反常积分(1)与函数对任给的正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有 ,即,则称含参量反常积分(1)在上一致收敛于.或简单的说含参量积分(1)在上一致收敛.

例1 试证明关于在上一致收敛.

证明: 对任意,都有,当时关于在内收敛于1.

对任意gt;0,欲使当和时,恒有成立,只要当时,恒有成立,只要当时,恒有成立,只要取即可.依定义2知,当时,关于在上一致收敛于1,即关于在上一致收敛于1.

3.2 用柯西一致收敛准则判别

定理1含参量反常积分(1)在一致收敛的充要条件是:对任给正数,总存在某一实数,使得当时,对一切,都有.

例2 证明:若在上连续,又在上收敛,但在处发散,则在上不一致收敛.

证明: 用反证法,假如积分在上一致收敛,则对于任给,总存在,当时对一切恒有.由假设在上连续,所以是的连续函数.在上面不等式中令,得到当时,.而是任给的,因此在处收敛,这与假设矛盾,所以积分在上不一致收敛.

3.3 用柯西判别法的极限形式判别

定理2设是定义在上非负函数,且,并记,则当时, 在上一致收敛.

例3 证明含参量反常积分在上一致收敛.

证明: 由于对任意,当时,有此时, 所以由定理2知，含参量反常积分在上一致收敛.

3.4 用魏尔斯特拉斯判别法判别

定理3设有函数,使得,.若收敛,则在上一致收敛.

例4 证明在上一致收敛.

证明: 由于对于,有

=,

而收敛,由魏尔斯特拉斯判别法得到在上一致收敛.

3.5 用狄利克雷判别法判别

定理4设

对一切实数,含参量正常积分对参量在上一致有界,即存

在正数,对一切及一切,都有;

对每一个,函数关于是单调递减且当时,对参量,

一致地收敛于0.

则含参量反常积分在上一致收敛.

例5 证明含参量反常积分在上一致收敛（其中）.

证明: 显然,故可认为当x时,被积函数是连续函数,因此

=,

其中,函数在上严格减少且一致趋于零,在上有界,故由Dirichlet判别法知,含参量反常积分在上一致收敛.

3.6 用阿贝尔判别法判别

定理5设

(i)在上一致收敛;

(ii) 对每一个,函数关于是单调函数,对参量在上一致有界.

则含参量反常积分在上一致收敛.

例6 证明含参量反常积分在上一致收敛.

证明: 由于反常积分收敛（当然，对于参量，它在上一致收敛），函数对每个y单调，且对任何,都有 .

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