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摘 要

本文研究了一类食饵染病且带有食饵保护的捕食模型,运用线性化方法,讨论了该模型平衡点的局部稳定性；然后,考虑到空间因素,在系统中引入扩散项，进而考虑了扩散捕食系统正平衡点的局部渐近稳定性．

关键词：捕食系统，平衡点，局部稳定性，线性化方法

Abstract: In this paper, a class of predator-prey model with infected prey and prey refuge is studied. With the method of linearization, we discuss the locally asymptotical stability of equilibria of the model. Considering the spatial factor, the diffusion is introduced into this system and the local asymptotical stability of the positive equilibrium of diffusive predator-prey system is considered.

Keywords: predator-prey system, equilibria, local stability, the method of linearization

目 录

1 引言……………………………………………………………………………6

1.1 研究背景……………………………………………………………………6

1.2 数学模型……………………………………………………………………8

2 常微分捕食系统平衡点的局部稳定性 ……………………………………10

2.1 平凡平衡点与半平凡平衡点的局部稳定性 ……………………………11

2.2 正平衡点的局部稳定性 …………………………………………………13

3 扩散捕食系统正平衡点的局部稳定性 ……………………………………14

结论 ……………………………………………………………………………18

参考文献 ………………………………………………………………………19

致谢 ……………………………………………………………………………21

1 引言

1.1 研究背景

生物数学是人文科学中的一门极其重要的学科，对生态系统的研究有着不可或缺的作用．它是一门生命科学与数学交叉的学科，凝聚着无数人的心血．一方面，在生物学的问题上，运用了数学的方法对其进行了研究和解决，加快了生物学的发展；另一方面，对与生物相关的数学理论和方法而言，有了深入的探索和研究，同时也扩宽了数学的领域，增加了数学分支．近几十年来，随着技术的发展，科技革命的爆发，科学界的领域进展飞快，同样的，生物数学的发展也极其迅速，各个杰出科学家取得的大量举世瞩目的成就，他们的研究成果惠及了人类生活的各个领域．值得一提的是，在研究生物数学的过程中，孕育了很多重要的分支学科，这在很大程度上推动了人类在生产实践活动和科学研究中的发展进程．是以，生物数学的重大突破，使其成为了当今世界上科学研究中最最为引人注目的领域之一．参见[1-3]．

传染病是人类史上一个不可避免的元素，疾病通过接触的方式由染病的传给易感染的，使得疾病得到扩散．例如，在14世纪的欧洲，黑死病杀死了将近四分之一的人口．在自然界的其他种群中，传染病依旧无法避免，例如，在二十世纪五十年代，澳大利亚的兔子数量由于多发性粘液瘤病而急剧减少；再如，在十九世纪末的非洲，牛瘟导致了野生生物的高死亡率．每一次传染病的爆发和传播都给生物种群的生存和发展带来巨大的磨难和阻碍．因此，预防传染病便成为研究的重要课题．

生态和流行病是其各自领域内的重要课题，但在这些系统中，它们又有一些共同的部分．从数学和生态角度来说，疾病在生态中的影响是一个重要的问题．科研工作者们将越来越多的兴趣和精力在这两个课题的交叉研究上．总所周知，在调查传染病的传播和预测发展趋势上，许多传染病模型起到了巨大的作用．

1798年，种群动力学首次被提出，生物流行病学开始萌芽．英国的人口学家马尔萨斯(Malthus)在其所写的《人口学原理》一文中，最早的提出了单种群动力学模型，即为如下的微分方程模型：

(1.1)

其中表示在时刻的人口密度，表示种群的内秉增长率．这便是著名的Malthus人口模型，它预示着数学模型开始成为分析传染病的传播和控制的重要工具．该模型所预测的种群是呈指数方式增长的，但是它仅仅只在资源无限充足而且种群的年龄结构以及生存环境状态都不变的情况下才有效，与现实情况有着很大的不同，环境太过理想化．

一般的来说，最大数目受食物、生存空间、环境承载量等都是特定环境中的种群发展的制约因素．由此，模型的改善便很有需要．在1938年， Verhust在原有的Malthus人口模型的基础上进行了进一步的研究，增加了种群密度制约因素，并提出了下面的模型，使得模型更加逼真、接近事实，这就是著名的Logistic模型：

(1.2)

其中，正常数表示环境容纳量．

由于联系的普遍性，自然界中的任何种群都时刻与生物群落中的其他的种群是密切相关的．在种群传播疾病的同时，它们仍然会为空间或食物而与其他种群竞争，或者被其他种群传染上疾病．美国生物学家 Lotka ^[4] 和意大利数学家Volterra ^[5] 在此基础上，研究了种群动力学，并最初的提出了经典模型，这个模型反映了两个种群间的相互作用，即

(1.3)

其中，，分别表示食饵和捕食者的种群密度，且在模型中所有的参数均为正数．该模型的假设条件是在生态环境中仅仅有食饵和捕食者两个种群有相互作用的关系，与其他种群没有联系，而且除了捕食者猎捕食饵种群以外，捕食者不捕猎其他种群，并且每个种群对自身的生存发展都不具有任何的制约和限制作用，即每个种群不会进行种群内部的厮杀捕食等．

经典的Lotka-Volterra捕食模型是在二十世纪里生物数学、生态流行病学的重要突破，开创了生物数学的新纪元，为后来的研究奠定了一定的基础．这里，我们假设在生态流行病系统中染病的食饵更容易被捕获，因为未染病的食饵更具活力，逃跑能力也更强．上述模型假设了捕食者与食饵之间的关系是线性密度制约的．但是这种假设在很多情况下都还不够合理．比如说，在种群间的相互作用上，文献[6]中所得到的实验数据跟这种模型进行的数值模拟所得到的数据差异较大，需要对模型更进一步的完善．

流行病的数学模型的一个关键点就是所谓的事件概率，即一种描述传播机制的功能．总的来讲，这个事件概率决定了易感染和易染病的种群．在那些会传染的疾病的模型中，一个事件的发生概率对模型给出一个合理的定性的疾病动力学描述是非常重要的．双线性事件概率和标准事件概率常常用在数学模型的著作里．这个双线性事件概率是建立在大量行为的基础上的，并受公共健康权威采取的控制政策影响．然而与之相反的，很多作者却认为传染病的传播是个非线性的概率事件．

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