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摘 要

探讨如何利用相关方法对涉及一阶常微分奇解的问题进行分析和解答，通过对解题过程的研究，加深学生对奇解的理解，更好的运用C-判别式和P-判别式解决问题,，促使学生对奇解有更深人的认识.

关键词：一阶常微分方程，奇解，C-判别式，P-判别式

Abstract：Discusses how to use the relevant methods to answer and analyze the related problems of the singular solution of first-order ODE. By chewing the process of problem solving, improve students understanding of  singular solution, better use of C- discriminant analysis and P- discriminant analysis to solve the problem, improve teaching effect, and make students have deeper understanding of singular solution.

Keywords：singular solution of first-order ODE, C-discriminant analysis, P- discriminant analysis

目 录

1 前言…………………………………………………………………………4

2 包络和奇解…………………………………………………………………4

3 奇解的求法…………………………………………………………………6

结论…………………………………………………………………………13

参考文献……………………………………………………………………14

致谢…………………………………………………………………………15

1 前言

常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，随着科技的进步和工业现代化的发展，物理，化学，生物等多个领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程. 20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”.但是由于某些原因使得这种“求通解”的努力,逐渐被放弃.

本文主要研究关于一阶常微分方程的奇解的一些问题，通过对奇解的概念和其求法的探讨，从而达到了解一阶常微分的目的,这有助于读者对一阶常微分方程有一个清晰的认识。关于奇解的详细介绍，见参考文献[1-8]

在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络

2包络和奇解

含有未知函数的导数（或微分）的方程叫做微分方程，未知函数为一元函数的方程称

为常微分方程，若常微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数为1，则称这个常微分方程为一阶常微分方程。

在研究奇解之间，我们得先弄清楚什么是奇解。定义：微分方程中的一个解称为奇解，如果在这个解的每个点上还有方程的另一个解存在。也就是说奇解是这样的一个解，在他上面的每一点唯一性都不成立，或者说奇解对面的每一点上都至少有两条方程的积分曲线通过。

那么奇解是这样产生的呢 ? 为了弄清这个问题，我们先看一个例子：

或者与它的等价方程

的解

经分离变量后，可得（1）的通解

^{容易看出， 也是原方程的一个解。现在来研究这个解有什么特殊的地方。由图我们看到解上的每一点处相切，这种特殊的积分曲线称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。}

奇解是微分中一个非常重要的概念，包络是几何中一个非常重要的概念，由于它们在几何意义上的共通性，研究包络的性质对研究奇解有着很大的帮助。那么什么是包络？现在我们给出包络的定义：

^{设给定单参数曲线族, 是连续可微函数，该曲线族的包络是指这样的曲线;它本身并不含在曲线族上，但在曲线上的每一点都有曲线族上的一条曲线和他在这点相切。}

^{通过包络和奇解概念的了解，我们就会不禁猜想包络和奇解有什么联系呢？我们来探讨一下他们的关系：若方程的积分曲线族的包络如果存在，则必定是方程的奇解，实际上，在积分曲线族包络上的点的x,y和斜率y´的值和在该店与包络相切的点x,y 和 y´满足方程，这就是说包络是积分曲线。其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。因此包络就是奇解，由此我们得出一个结论，如果得出方程的通积分，那么这个通积分的包络就是方程的奇解。}

3奇解的求法

^{作了那么多铺垫工作，现在我们正式探讨如何来求出一阶常微分方程的奇解，以就是主要利用奇解的原理而发掘的一些求法，并结合一些例题探究，便于读者理解。我们已经由上述内容知道了奇解与包络的关系，但是，通常情况下，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族和平行直线族都是没有包络的，为了解决这个问题，我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。 从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法。}

方法一：利用C-判别式求解

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