拉格朗日插值及其应用

文 献 综 述

一、选题背景及意义

随着计算机和网络通信的广泛应用，人们的生活越来越依赖电子通信，使用电子方式来存储重要档案的做法也越来越普遍，随之而来产生的对各种不同档案如何管理也成了很大的问题。

众所周知，在诸多实际问题中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到一些离散数值。如：给定历年职工工资，要求出指定年代的数据。有时，即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，不仅使用不便，而且不易于进行计算与理论分析。由此，插值法便应运而生。在当今计算技术和网络技术快速发展的信息时代，电子商务、电子政务、电子银行等给我们的生活和工作带来了极大的便利，同时，无论是国家事务，还是生产、生活、商务，都越来越依赖网络和计算机，信息技术已逐渐深入各个领域和角落，也已逐渐成为各领域数据的主要处理、存储和传输手段。然而，人们在享受网络信息所带来的巨大利益的同时，也面临着信息安全的严峻考验，信息安全受到了社会各界的高度关注。信息安全与国家的军事、外交、政治、经济、金融，甚至普通老百姓的日常生活的关系越来越密切。

拉格朗日插值的应用之一shamir秘密共享方案，其最初动机是解决密钥管理的安全问题。大多情况下，一个主密钥控制多个重要文件或多个其他密钥，一旦主密钥丢失、损坏或失窃，就可能造成多个重要文件或其他密钥不可用或被窃取。为了解决这个问题，一种方法是创建该密钥的多个备份并将这些备份分发给不同的人或保存在不同的多个地方。但是这种方法并不理想，原因在于创建的备份数目越多，密钥泄漏的可能就越大但如果同时创建的备份越少，密钥全部丢失的可能也就越大。秘密共享可解决上述问题，它在不增加风险的同时提高密钥管理的可靠性。 在秘密共享方案中，将需共享的秘密分成若干秘密份额也称子密钥、碎片，并安全地分发给若干参与者掌管，同时规定哪些参与者合作可以恢复该秘密，哪些参与者合作不能得到关于该秘密的任何信息。

二、相关原理及应用

在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫#183;路易斯#183;拉格朗日命名的一种多项式插值方法。许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解。如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式。

定义:

对某个多项式函数，已知有给定的k 1个取值点：