摘 要

本文借助Matlab对不同形式的一维有限深势阱中的波函数和能级进行可视化分析，在量子力学中，最基本的模型是一维势阱。与此同时，它也是量子力学中十分重要的问题，在学习量子力学的时候，要想了解量子力学的理论，一维势阱的学习具有重要意义。但是，如果在实际的、比较复杂的量子系统中，并不对应真正的无限深势阱，只能采用无限深势阱的结果来近似理解。因此，对一维势阱的深入研究不仅对实践有重要意义，而且还具有重要的教学意义。

论文主要研究了量子力学的发展史、一维有限深势阱和一维无限深势阱中波函数及概率密度的求解、Matlab对不同形式的一维有限深势阱中的波函数和能级进行可视化分析这三个方面来入手。本论文通过求解一维无限深势阱，推导微观粒子波函数和概率密度函数的特征，然后借助自由粒子的波函数中推演出薛定谔方程，而后把它应用在一个比较简略的一维势阱的模型中，进而推导出其在一维势阱中的波函数和概率函数，最后用 Matlab 软件来仿真出它的图形。

研究结果表明，在仿真结果当中，可以看出粒子能量是量子化的，还可以从图像中看概率密度的分布情况。

本文的特色：对于一些比较抽象性的势阱问题，可以通过 Matlab模拟仿真得到非常直观的结果显示，并且对于理解一维势阱的原理和结构有着重要意义。即便是它现实的能级结构十分复杂，仍阻止不了其成为近代物理研究的热门，值得注意的是，当我们把一维势阱的原理简单化并通过Matlab模拟仿真以后，可以很清楚地理解势阱的复杂行为。

关键词：一维势阱；波函数；Matlab

Abstract

One dimensional potential well problem is also a very important problem in quantum mechanics. In the study of quantum mechanics, it is of great significance to understand the theory of quantum mechanics. However, if the real infinite potential well does not correspond to the real infinite potential well in the actual, relatively complex quantum system, the results of the infinite potential well can only be used to approximate the understanding. Therefore, the in-depth study of one dimensional potential well is of great significance not only to practice, but also to teaching.

Thesis mainly studied the history of quantum mechanics, a one-dimensional finite depth potential well and one dimensional infinite potential well deep wave function and probability density of the solution, the Matlab for different forms of one dimensional finite depth potential well of wave function and energy level visualization analysis these three aspects to start. In this paper, by solving one dimensional infinite potential well, micro particles is derived, the characteristics of the wave function and probability density function from the wave function of the particle in the schrodinger equation is deduced, and then apply it in a relatively short one-dimensional potential well model, and then in the one-dimensional potential well is deduced in this paper the wave function and probability function, finally using Matlab software to simulate the pattern of the it.

The results show that the particle energy is quantized and the probability density distribution can be seen from the images.

Of this article features: for some of the more abstract the potential well, can be very intuitive through Matlab simulation, according to the results and to understand the principle and structure of one-dimensional potential well has important significance. Even its realistic level structure is complex, still prevent its become a modern physics research, it is important to note that when we put a one-dimensional potential well after the principle of simplification and through Matlab simulation, can clearly understand the complex behavior of a potential well.

Key Words：one dimensional potential well；the wave function；Matlab

目 录

1.1 量子力学发展史的简介 1

1.2 量子力学的展望 2

1.3 Matlab的介绍 3

1.4 论文的主要研究思路 3

第2章 基本原理 4

2.1 一维势场中的粒子 4

2.1.1 波函数与概率密度的介绍 4

2.1.2 薛定谔的猫 5

2.2 一维无限深势阱求解 5

2.2.1 波函数及其统计解释 5

2.2.2 概率波的物理意义 6

2.2.3 Schrodinger方程 7

2.3 一维无限深方势阱 9

2.4 一维有限深势阱 11

2.4.1 有限深对称方势阱 11

2.4.2 左右高低不对称势阱 15

2.4 本章总结 19

第3章 MATLAB仿真及结果分析 20

3.1 一维无限深势阱波函数的仿真 20

3.2 一维有限深势阱波函数的仿真 24

第4章 总结与展望 26

4.1 本文总结 26

4.2 展望 26

参考文献 28

致 谢 29

第1章 绪论

1.1 量子力学发展史的简介

经典力学的诞生比较早，在16世纪的时候，已经有一些先驱者对物理学有了较为深刻的认识。20世纪初，物理学界面临的几个困难--‘两朵乌云’（W.Thomson语)，一是电动力学中的“以太”：人们没有办法通过自己的努力尝试得出以太的活动速率；二是物体的比热难以准确测得，观察到的物体比热在一般情况下总是比在经典物理学中依据能量均分定理得到的值要低一些。

历史的经验值得我们思考，从量子物理学的提出，到现在已经接近一百年了，对它的发展历程做一个简单明了的回顾，除了能够加深咱们对量子物理学的了解，还能对物理学的更进一步发展中，能够得到许多有益的启发。

由生活常识可以知道，当物体温度增加的同时由于热量传输会向周围的介质释放出一定的能量，一般称之为“热辐射”。后来随着科研工作者的不断研究，发现了物理学中一种重要的物质--绝对黑体的存在。通过大量的实验过程发现，绝对黑体辐射的能量会随着波长而发生变化。在十九世纪九十年代，一位年轻的物理学家维恩在已有的物理学的基础之上成功创立了全新的黑体辐射理论，在他的理论之中，可以非常准确地描述辐射出的能量在可见光到紫光附近的分布。没过多久，瑞利和金斯在总结了前人对辐射能量的认识，成功研究了在可见光至红光端的的辐射分布，正好弥补了之前的物理学家维恩得出的结论。而他们的理论都没法适用于整个可见光光谱范围，使得大家对于已知的经典物理学产生了一些怀疑，是不是有一些新的理论没有被发现^[1]。

后来，一代伟人爱因斯坦在总结了前人的结论后成功解释了量子的概念，对后人有着重要影响力的“光电效应”终于在19世纪后叶被人们发现。这个效应的发现，颠覆了所有人对能量一定是连续的理论，因为通过大量实验证明，发生“光电效应”的时候，产生的光电子能量只和入射光的频率大小有关系，而与入射光的强度大小没有关系。

普朗克提出了光量子的概念，当采用了光量子概念，光电效应中出现的问题便得到了很好地解释。辐射的实验结果和经典理论的矛盾，是量子力学的第一个突破，它的第二个突破则来自物质及其与辐射的相互作用的实验与经典的矛盾，法国的物理学家德布罗意仔细分析了普朗克-爱迪生的著名的光量子理论以及波尔的原子论，从中得到了启发，他通过分析光的波动说和微粒说的发展历史，而且还留意到了这样的一个相似性，即经典粒子力学同几何光学的相似性，提出了物质波这一概念。在物质波的假设提出之后，很自然地，大家会问这样一个问题，如果实物粒子是波，那么，为何在以前很长一段时间的实践中，人们把他们当成是经典的粒子，但是并没有发现有什么不对呢？为解释这一点，回顾人类对于光的本质的认识的历史，我们会得到启迪：在17世纪，牛顿的光微粒学说占主导地位；直到到了19世纪，在光的干涉和衍射试验成功后，人们才认识到光也是有波动性的^[2]。到了原子世界中，物质粒子的波动性便会表现出来，在这种情况下，如果我们坚持用经典力学去处理就不适合了，所以要有一种新的波动力学来取代他，在1927年，在实物粒子的波动性的直接实验中，终于获得了成功，再到后来又被无数的事实所证明这种理论的正确性。最终人们得出结论，波动性是所有实物粒子都会具有的性质。

1.2 量子力学的展望

量子力学理论一经提出，就对原子结构给出了很好的解释，另一方面也对于大尺度分子乃至很小尺度的原子核物理指明了道路。举个例子，著名物理学家Heitler和London对氢分子结合机制的研究成果，清除了理解原子之间作用力（化学键）的道路上的障碍，从而使物理和化学两个领域的分界线消失。除此之外，Bloch的能带论解释了如何界定固体有金属、半导体和绝缘体之分。而后来的研究人员通过研究金属电子之间的相互作用，给予一些特殊元素的强磁性确切的说明。与此同时，物理学家Condon通过粒子的势垒隧穿概念，将α粒子衰变的机制做了比较清晰的说明，而他所说明的α粒子衰变机制对于后来核能的开发利用有着非常重要的意义。在这短短几年中有了这一系列的发现，显然是物理学历史上一个空前成就的时期，所以这一时代被公认为是物理学的一个英雄时代。参与过当时工作的Condon在描述当时令人眼花缘乱的情景时，这样说道，事情竟然会以如此迅速的步伐演变，以致于所有对这方面的物理学家，在了解后都患上了精神上的消化不良症.

和其他自然科学相比较来说，量子力学这一学科应该被看成一门正在不断发展着的学科，这不仅仅是在量子信息论这一个领域，还有其他领域，例如生命科学领域，量子力学也在逐步渗透到，它的发展前景是我们无法预测的。虽然到目前为止，量子力学的正确性在实验中得到了证明，但是这仅仅表明，我们所证实的只是在人类目前为止实践所涉及到的领域是正确的，量子力学不是绝对的真理，同时，量子力学并没有，也不可能把人类更深层次的认识自然界的道路给封闭，在广义相对论与量子力学之间是存在矛盾的^[3]，这一矛盾并未得到解决。对于量子力学的相关辩论，科研人员还在进行着不断地探索之中，对于自然界之中，除了有着物质存在着不同的形式，还有物质有着一定的运动规律，所以想要有更根本的变革存在是不太可能的。

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