函数单调性概念的推广及其应用开题报告
2020-04-12 15:39:09
1. 研究目的与意义（文献综述）
1.项目背景及研究意义1.1 研究背景及意义
单调性是刻画函数性态的 重 要 工 具，无 疑 是 一个重要概念 ．高中阶段用初等代数的语言定义单调性，微积分中则是用导数来刻画单调性 ．语 言的刻画不过是一种表象，其中蕴含的核心思 想 是：我们总可以把不规范的事物转化为规范的事 物，用规范的简单的事物控制复杂的事物．如，方 程和不等式可以看作函数的特定状态，用函数 的 观点处理方程、不等式的有关问题，自然是情理之 中的事 ．比如，欲证ｆ（ａ）＜ｆ（ｂ），同时，又已知ａ，ｂ间的大小关 系，这 时 若 能 说 明ｆ（ｘ）的 单 调 性， 即可证得结论 ．应当说这是一种简单的规范的证 明不等式的方法 ．
1.2研究现状
许多数学模型，包括优化问题、多目标优化问题、变分不等式问题、不动点问题、互补性问题和非合作 nash 均衡问题等，都可以通过均衡问题来进行表达:找到向量 x* ∈s，使得
f( x* ，y) 0，y∈s，
2. 研究的基本内容与方案
2.研究设计的基本内容、目标、拟采用的技术方案及措施
2.1研究目标与研究内容
函数的极值是函数性态的重要特征 ,在实际问题中有广泛的应用 .文献 [ 1] ～ [ 3] 利用高阶偏导数或实二次型理论求解多元函数的极值 .如何利用方向导数求多元函数的极值 .为了叙述方便 ,着重讨论二元函数的情形 ,可类似推广到二元以上的多元函数 .
2.2技术方案
2.2.1 多元函数单调性的定义
一元函数 y=f(x)在某个区间上的单调性 , 如该区间 为 (-∞, ∞)时 ,可看成该函数在有向直线 x轴上的单 调性 ;如该区间为 [ a, b] 或 (a, b)时 ,可以看成该函数在 x 轴上的一条有向线段 (方向与 x轴正方向相同 )上的单调性等等 ,类似地 ,可定义二元函数在 xoy面上的一条有向线 段 ,有向直线或射线上的单调性 . 定义 : 设 AB为 xoy面上的一条有向线段 ,二元函数 z =f(x, y)在 AB上有定义 , 对于 AB上任意两点 P1 , P2 , 设 P1 P2 与 AB同向 .
若 f(P1)lt;f(P2),则称二元函数 z=f(x, y)在 AB上单调增加 .
若 f(P1)gt;f(P2),则称二元函数 z=f(x, y)在 AB上单调减少 .
2.2.2 多元函数单调性的判定法则
设二元函数 z=f(x, y)在区域 Ⅰ 内连续 , 有向线段 l=AB Ⅰ ,且 z=f(x, y)在 (A, B)内每个点处都可微 , l表示点 A出发的并且经过点 B的一条射线 ,
(1)若在 (A, B)内 flgt;0,则 z=f(x, y)在 AB上单调增加 .
(2)若在 (A, B)内 fllt;0,则 z=f(x, y)在 AB上单调减少 .
文献 [ 6] 给出了二元函数极值的概念和利用二阶偏导数判断函数在驻点处是否取得极值的判定法则 ,但二元函数极值也可能在偏导数不存在的点处取得 , 这时利用该法则无法判断函数在该点处是否取得极值 ,而利用方向导数就可以判断二元函数在驻点处或偏导数不存在的点处是否取得极值. 设函数 f(x, y)在点 P0(x0, y0)的某个邻域内连续并且可微 ,又 f(x, y)=0, f(x, y)=0(在点 P处偏导数也可以不存在 ),在 P0(x0, y0)的去心邻域内任取一点P(x, y),令 l=P0P, l表示点 P(x,00 y)0出发的并且经过点 P(x, y)的一条射线 ,
| (1)如果在 P(x,00 | y)0的去心邻域内 |
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| lgt;0, 则 f(x, y) |
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| 在点 P0(x0, y0)处取极小值 f(x0, y0). |
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| (2)如果在 P(x,00 | y)0的去心邻域内 |
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| flt;0, 则 f(x, y) |
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| 在点 P0(x0, y0)处取极大值 f(x0, y0). |
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| 证明 :由于在 P(x,00 | y)0的去心邻域内 |
| lgt;0, 则在 |
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| (P,0 | P)内 | fgt;0,于是 f(x, y)在 |
| 上单调增加 ,故 f(P) |
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| l |
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| gt;f(P),0 即 f(x, y)gt;f(x,0 | y),0 因此 f(x, y)在点 P(x,00 y)0 |
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处取极小值 f(x0, y0).(1)可证
同理可证 (2)
二元函数单调性的定义和判定法则 ,二元函数极值的判定法则可以类似推广到三元和三元以上的函数 .
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3. 研究计划与安排
3.进度安排
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| 任务内容 | 时间节点 |
| 1 | 确定选题，收集文献资料，撰写开题报告初稿 | 第1-3周 |
| 2 | 完成开题报告修改、定稿，深入学习理论基础，确定文章总体思路并完成论文综述； | 第4-6周 |
| 3 | 完成毕业论文初稿的撰写工作； | 第7-10周 |
| 4 | 完成毕业论文修改、定稿； | 第11-13周 |
| 5 | 提交论文初稿，给老师检查后修改定稿，答辩。 | 第14-15周 |
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4. 参考文献（12篇以上）
4.参考文献1] 李玲.关于多元函数极值问题的讨论[ j] .重庆职业技术学院学报, 2006(2)
[ 2] 王敏芝.关于多元函数的极值的判别准则[ j] .浙江理工大学学报, 2007(5)
[ 3] 董丽华.用实二次型理论解多元函数的极值问题[ j] .淮北煤炭师 范学院学报, 2006(2)
