1. 研究目的与意义（文献综述）

微分方程在数学、物理以及其他领域的研究中有着举足轻重的作用,同时在实际的生活中存在着广泛的应用。恩格斯说过“只有微分学才使得自然科学不仅能用数学来表明状态，而且也能用数学来表明过程，即运动。”常微分方程源于对物体运动过程的研究，它的雏形甚至比微积分的发明还要早。像纳皮尔发明对数，伽利略研究自由落体运动，笛卡儿在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，都是建立和求解常微分方程的过程。常微分方程在自然科学和社会科学领域如力学、物理、 生物、 地学、机械工程、 通讯工程、航空航天及经济学等中都有着广泛的应用。最初我们主要关注微分方程的研究，将其作为数学建模的主要工具。大多数物理、工程科学、生物数学等领域的数学建模都会产生非线性微分方程。如何求解数学建模中产生的微分方程问题成了许多数学家研究的重要课题。一些特殊型方程可以进行积分，用传统的特定方法解析得到，比如求解常微分方程的一些经典方法有变量分离法，laplace变换法，常数变易法，积分因子法，降阶法，待定系数法等。但是在一般情况下，我们还是不能使用这些方法求得所有微分方程的解。

然而，由微分方程刻画的基本自然规律和技术问题可以由李群分析方法成功地处理并解决。微分方程群分析是由索菲斯·李在19世纪末创造，而在20世纪60年代有着惊人的突破。微分方程群分析是用来寻找非线性微分方程的对称性，从而获得精确解来准确描述复杂自然现象。为获得非线性微分方程解，沿袭简单线性叠加原理是不可以的。李群和李代数有着广泛的应用，它和其他的现代分析方法一起，是求解非线性微分方程的解析解的重要工具。

李群分析方法是通过寻找方程的对称来研究方程的相关问题。 当提到 “对称”这两个字时，相信大家很容易与“美”、“和谐”联系起来，比如，蝴蝶左右翅膀的对称，一方面给人们带来视觉上的惊艳，另一方面，也是蝴蝶生存的需要；时钟的对称既美观又保证了走时的均匀性。因此，“对称”的事物总是能给人们带来美与和谐。在传统观念上，人们可能认为“对称”仅与艺术、文化这些领域相关，实际上，在数学、物理等领域也存在着对称，比如众所周知的数学上的“对称图形”。从更深层次的方面来说，在复杂的非线性科学上可以用对称理论来研究微分方程，下面我们来介绍对称理论。

2. 研究的基本内容与方案

基本内容

如果用准确的微分方程来描述复杂自然现象，那么该方程及其解必然存在着完整性和对称性。由本文的目的及意义已知，微分方程群分析是用来寻找非线性微分方程的对称性，从而获得精确解来准确描述复杂自然现象的方法。为获得非线性微分方程的解，沿用线性叠加原理已无效，新的工具——李群、李代数结合其它的分析方法，成为求解非线性微分方程解析解的重要工具。利用李群理论来研究微分方程，关键是寻找方程所允许的对称，对称的体现形式是无穷小生成元。利用经典李群方法可以得到仅依赖方程的自变量和因变量的无穷小生成元，称为李点对称，李点对称不涉及因变量对自变量的积分和导数。

研究目标及采用的方法

3. 研究计划与安排

1-3周：查阅文献，完成开题报告
4-6周：总体设计，完成论文综述
7-10周：设计算法，功能模块设计
11-13周：编码和测试
14-15周：写论文，提交初稿，给老师检查，修改定稿，答辩。

4. 参考文献（12篇以上）

[1].nail h. ibragimov著 微分方程与数学物理问题 高等教育出版社,北京，2013

[2].bluman,g.w,kumei,s. symmetrices and differentialequations. springer.new york,1989.

[3].cantwell,b,j. introduction to symmetryanalysis. cambridge university press, cambridge, 2002.