1. 研究目的与意义（文献综述）

1.1 课题来源

国家自然科学基金项目：基于突变理论的两类切屑形态突变现象建模及控制方式优化(项目编号：51675203)。

1.2 研究目的和意义

近年来，随着机械、材料和自动化等领域的进一步交融和进步，切削加工技术，包括高速切削技术、精密加工技术和微细制造技术等有了迅猛的发展，这也就要求切削基础理论的需要新的进展和突破。

受刀具切削刃的作用，切削层的金属材料经过挤压和剪切滑移变形成为切屑，沿刀具前刀面流出^[1]。传统理论认为这一过程是稳定的，当切削宽度 、厚度 、切削速度和刀具几何形状等控制参数给定时，切削过程的切削变形 、切削力和切排屑角等物理状态参数如也就相应确定了，并且这种一一对应关系是连续、稳定的。然而在生产实践中，存在着因切削过程中控制参数的连续变化而引起的切削突变现象，如排屑角突变等。这与上述假定相矛盾，然而这些现象却在实验中被反复观察到。

师汉民等^[2] 在低速刨削实验时（工件：紫铜，刀具：HSS，λs =0）发现：当切削厚度a_c从0逐渐增大到0.127mm的时候，排屑角φ从39^o突变到60^o，主切削力增大约1倍；当切削厚度a_c从最大逐渐减小到0.07mm的时候，排屑角φ从54^o突变到21^o，此时主切削力降低了75%。

这种切削过程中的非线性特征使关于控制参数控制方法失效，特别对高速切削和 CIM 环境的切削在线控制造成很大的困难，对切削功率及工艺效果的影响不容忽视^[3]。因此，以突变理论为数学理论基础，建立完整、准确的分析模型，并对该现象进行精确地预报，不仅对通过控制参数的相关优化来改善切削条件等方法有着重要意义，也可籍此进一步推动切削基础理论的进一步发展。

1.3国内外研究现状

1.3.1 突变理论简介

法国数学家René Thom（1923－2002）于1972年问世的《结构稳定性和形态发生学》一书是突变理论诞生的标志。在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化和跃迁现象，如岩石的破裂、桥梁的崩塌、地震、海啸、细胞的分裂等。

突变理论就是用数学的方法来研究这种现象的一种工具，它指出自然界或人类社会中任何一种状态，都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态。非线性系统从某一个稳定态（即下文的平衡位置）到另一个稳定态的转化，是以突变形式发生的^[4]。

考虑一个具有结构稳定性的系统，系统的势能可由势函数表示，例如在力学中势函数是系统的总能量^[5]，在经济学中可以是消费函数^[6]，在金属切削中可以是切削功率^[7]等。它在任何时刻的状态都可由给定个状态变量的值来确定，且受到个独立的控制变量的控制。René Thom^[4]用拓扑学证明了势函数的种类取决于控制参数的数目而不是状态参数的个数，并且指出当控制变量的数目不超过4个并且状态参数不超过2个的时候，突变的种类仅有7种，这7种突变被称为初等突变，具体见表1-1。

表1-1 基本突变类型

突变类型	势函数	控制变量个数	状态变量 个数
折叠型		1	1
尖点型		2	1
燕尾型		3	1
蝴蝶型		4	1
双曲脐型		3	2
椭圆脐型		3	2
抛物脐型		4	2

在这7种基本突变类型中，尖点型相对而言容易建立，故接下来以尖点型突变为例，介绍突变模型的基本概念。

尖点突变模型势函数的一般表达式（即普适开折）为：

（1-1）

式中，为状态变量，、为控制变量。

平衡位置为系统理论上可能达到的状态，位于势函数的极小值，所以此时有：

（1-2）

即：

（1-3）

把由式（1-3）确定的平衡曲面M称为突变流形（如图1-1）。

而平衡曲面M的临界情况又由：

（1-4）

即：

（1-5）

而决定，然后把式（1-3）和式（1-5）的交集称为奇点集S，

最后联立式（1-3）和式（1-5），消去x（相当于将奇点集S投影到控制参数平面上），可得分叉集B（如图1-1）:

（1-6）

可以看出，实际上，势函数一阶导为零的集合定义了平衡曲面M，又与其二阶导为零的集合的交集定义了奇点集S，奇点集S在控制参数平面的集合就是分叉集B。

图1.3-1 尖点突变的突变流形与分叉集 图1.3-2 尖点突变的示意图

由图1可以知道，尖点突变流形（即平衡曲面M）呈现出折叠的形态，事实上，只有平衡曲面出现折叠，突变才有可能发生。平衡曲面的折叠使其出现了上、中、下三叶，代表了理论上可能的三种平衡位置，其中上、下两叶是稳定的，中叶是不稳定的。

通过对突变流形的分析，可得突变模型如下五个特性，它们也可以用作突变特征^[4]：

（1）控制参数在某些范围时，系统的势能可能出现两个或多个极小值。对于尖点突变模型具有双模态，即具有两种不同的状态；

（2）不可达性：系统存在不稳定的平衡位置，即上述尖点突变的中页；

（3）突跳：当控制变量连续变化并从特定方向通过分叉集时，系统的状态会发生上跃或下跌。以图1-2为例，保持控制参数c₂为常数：若沿路径A到D增大控制参数C₁，状态参数x在B点附近跌落至C点，即发生了突变；类似的，沿路径D到A减小C₁，x在E点附近上跃至F点；

（4）滞后性：同样以图1-2为例：当控制参数x分别沿着A到D和D到A的路径变化时，根据以上分析，状态参数x分别在B、E点发生突变，显然E点处C1的值小于B点处C1的值；

（5）发散：在分叉集附近，控制变量的微小变化可能导致状态变量的巨大变化，即突变。

1.3.2突变理论的应用

尽管突变理论是一门数学理论， 它的核心思想却有助于人们理解这些突变的现象。它的出现虽然还不久，却已取得了许多应用成果。在数学、力学和物理学中，利用突变理论不仅能加深对已有定律的认识，也已得到了一些新的成果，例如找到了光的焦散面的全部可能的形式^[8]。特别是在生物学和社会学中，许多现象很难用其他数学方法处理，却可以利用突变理论。例如对捕食者-被捕食者系统中的群体消长情况，与微分方程相比，突变理论的预测能与实验很好的相符^[4]。

近年来，突变理论在工程领域中也开始逐渐应用。陈安华基于突变理论^[9]，用尖点突变的模型解释了转子故障激励振动幅值突变现象，得出其产生的条件，进而提出一种定量预测的技术方案，其理论预测值跟实际测量得到的值误差在5%以内。在摩擦研究中，鲍久圣^[10]用突变理论建立摩擦突变的尖点模型，对提升机紧急制动过程中闸瓦“摩擦突变”现象进行了定性描述和定量预测，找出摩擦突变的临界状态对其进行预测，从而能减少甚至避免事故的发生。MARCO等^[11]应用突变理论对带柔性转轴的平面运动系统的稳定性进行分析，发现系统在运动过程中不仅可能发生折叠突变，而且可能发生尖点突变或蝴蝶型突变，通过分叉集划分出不会发生突变的稳定工作区域和会发生突变的不稳定区域，提高了保障系统运行的稳定性，且理论预测值跟实际测量得到的值误差在9%以内。

1.3.3排屑角预测研究现状

一直以来，国内外对于排屑角进行了大量的研究，其中许多都是通过对实验数据的分析来对其进行预测。

G.V.Stabler^[11]在刨床和车床上对不同材料的工件进行了大量单刃斜角自由切削的实验，给出了刃倾角和自然排屑角的一个简单的经验关系，即：

（1-7）

其中，值在0.9到1.0之间，随工件材料和切削条件变化。

实际上，许多学者认为排屑角不仅仅与刃倾角有关，Russell 和 Brown^[12]认为排屑角的大小不仅仅只受刃倾角的影响，而且还与法向前角有关，因此流屑角可以写成下式：

(1-8)

Brown 和 Armarego^[13]等认为流屑方向应与前刀面上的摩擦方向相一致，即：

（1-9）

式中和分别是在前刀面上沿刀口方向和垂直道口方向的切削分力，这也是师汉民等^[2] 在外圆车削实验中所采用的测量方法之一。

国内学者张维纪 ^[14]等人认为排屑角应该与刀具的结构参数和加工条件都相关，通过对斜角切削模型进行分析，给出了排屑角计算公式：

（1-10）

其中，为平均摩擦角，他们认为排屑方向会随着法向前角的增大，而逐渐接近前刀面的最大倾斜方向。

刘旺玉等人^[15]对刃倾角大于 50^o 的斜角切削的切屑流动方向进行实验研究，通过设计在 CM6140 车床上进行高速钢刀具切削低碳钢(Q235)工件的实验，并进行相关的数据处理，拟合出了排屑角与进给量、切削厚度、法向前角、刃倾角之间的关系：

（1-11）

可以看到，虽然国内外学者给出了很多的排屑角预测公式，这些研究都是侧重于某一因素或者仅仅只是给出了一个经验公式。一般情况下，大多采用的是G.V.Stabler给出的著名公式—— 。

1.3.3切削模型研究现状

剪切区是一个非常窄的区域，并且有很高的剪应变率(可达 10⁴～10⁶s^-1)。由于切削过程非常复杂，影响因素很多，建立与实际剪切变形区一致的模型很困难。在建立切削模型时，大都主要考虑第一变形区的剪切变形，实现一定程度上的对实际切削过程的模拟与预测。以下介绍三种比较常见的切削模型。

图1.3-1 主剪切区的简化模型

（1）：剪切平面模型

Merchant^[16] 假设材料为理想塑性体，将第一变形区视作单一剪切平面（如图1.3-1），剪应力为不随正应力变化的定值，这也是师汉民^[2]在研究直排屑突变采用的模型。由于该模型忽略了没有考虑材料的加工硬化、忽略了剪切角和切削速度引起的剪切应力的变化等，所以其模型的预测的范围具有相当的局限性，对复杂情况的预测精度较低。

（2）：等分剪切面模型

Oxley^[17]提出的平行面剪切区模型，认为主剪切面 AB 平行于始剪切线 CD 和终剪切线 EF，并且平分剪切区（如图1.3-1）。理论上，该模型比剪切平面模型更符合实际的情况，但是由于利用该模型提出的算法存在不收敛等问题，还需要进一步改进算法^[18]。

（3）：不等分剪切面模型

Tounsi^[19]根据 Astakhov 的理论，也提出主剪切面 AB 把剪切区分成两个不等的部分（如图1.3-1），主剪切面 AB 到始剪切线 CD 的距离为整个剪切带厚度 h 的 k 倍(即不等分系数为 k)，其中第一个部分是宽区（CD到AB），切屑速度发生较慢的变化；第二部分是窄区（AB到EF），窄区内的切屑速度发生较快的变化。与平行边剪切模型相比，该模型在预测时还需要给出合理的k值。

可以看出，在上述三个模型中，最接近实际情况的是不等分剪切面模型，所以采用该模型进行切削功率（势函数）的推导。

2. 研究的基本内容与方案

2.1基本内容和目标

（1）推导基于改进的扩展oxley模型或其他切削力模型的计算前角和刀尖圆弧半径均不为0时平前刀面直线双刃车刀外圆/端面车削的切削功率函数，据此建立排屑角突变的数学模型并编程实现；
（2）用所建模型绘制出排屑角突变的流形和分叉集，写出分叉集的方程；

（3）参与车削6061铝合金工件时排屑角突变和/或切削力测试的实验工作，并用实验数据验证所建模型的有效性和预报精度；

（4）按照有关规范撰写开题报告、毕业设计论文，并参与答辩。（3）加工6061铝合金工件时，排屑角突变的实验研究与结果分析。

3. 研究计划与安排

3.进度安排

第1-3周：完成开题报告和英文翻译；

第4-6周：完成毕业设计相关内容的总体思路和公式推导；

4. 参考文献（12篇以上）

[1]熊良山. 机械制造技术基础(第二版)[m]. 武汉：华中科技大学出版社, 2012: 1-418.

[2]师汉民. 金属切削理论及其应用新探[m]. 华中科技大学出版社, 2003.

[3]王西彬,师汉民,陆涛.切削过程的分叉与突变[j]. 机械工程学报,1997(06):21-26.