摘 要

Abstract 2

前言 3

1常微分方程人口模型 6

1.1马尔萨斯模型 6

1.2威尔霍斯特模型 7

2偏微分方程人口模型 9

2.1预备知识 9

2.1.1一些概念与定义 9

2.1.2 特征线法 9

2.2.1建立模型 11

2.2.2定解问题求解 13

2.2.4解的性质 15

2.2.5平衡年龄分布与稳定年龄分布 16

3模型的进一步深化 17

3.1预备知识 17

3.2模型建立 17

3.3解的存在唯一性 18

3.4稳定性的证明 22

3.5C¹解的光滑性 22

参考文献 24

致谢 27

人口发展的偏微分方程模型

摘 要

本文首先对我国人口现状进行介绍，阐明现阶段人口问题形势严峻，制定正确的，符合我国社会发展的人口政策对于国家的治理和社会的发展具有重要的意义。接着，引入两个经典的人口模型，即马尔萨斯模型和威尔霍斯特模型，简要叙述模型的建立，并结合具体的例子说明，这两类模型只适用于特定的情况。随着时间长度的加大，两个模型在模拟人口发展的过程中都出现了较大的偏差。针对于现阶段人口发展的特征，考虑到现代交通工具的便捷，移民人口数量在国家人口发展和调控中越来越不容忽视，民得到一个偏微分方程模型，利用特征线法方法证明该偏微分方程的光滑解的存在唯一性，证明光滑解对初值的连续依赖性。在此基础上，讨论解的一些性质。

关键词：偏微分方程，人口模型，存在唯一性，迭代法

Abstract

This paper is divided into three parts. First, I introduce current development of Chinese population, to demonstrate the important and influence of appropriate policy for Chinese population.

And then, Malthus model and Wilhorst model, two classical population models are introduced, and the formulas of the solution are given. With examples, I illustrate that the two models are fit to given situations. As the time prolong, the variations between the real population and the number given by the two models become larger and larger.

As the development of modern transportation, immigration become easier, the population of the immigrate play an important role in a country population. Considering the immigration, a partial differential equation is built to model the growth of the population. Using the characteristic method, I prove the existent and uniqueness of the C^1 solution,

and then discuss some properties of the solution.

Key Words: Partial differential equation, compatible condition, characteristic method, existence and uniqueness, uniform convergence

前言

据国家统计局数据，2018年中国男性人口71351万人，女性人口68187万人，总人口性别比为104.64(以女性为100)。从年龄构成看，16至59周岁的劳动年龄人口89729万人，占总人口的比重为64.3%；60周岁及以上人口24949万人，占总人口的17.9%，其中65周岁及以上人口16658万人，占总人口的11.9%¹。预计到2020年，老年人口达到2.48亿，老龄化水平达到17.17%，其中80岁以上老年人口将达到3067万人；2025年，六十岁以上人口将达到3亿，成为一个老年型国家。预计到2030年左右，我国人口将达到峰值。2015年10月中共十八届五中全会决定：坚持计划生育的基本国策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子政策，积极开展应对人口老龄化行动(见[1])。

依据人口自然增长率预测数据，不久便会出现劳动力人口急剧短缺的现象，如果不调整目前的人口政策，意味着中国将出现“未富先老”的局面。对于现下中国人口增长的趋势的发展来看，生育政策的调整就显得的尤为迫切。

开放单独二孩政策将会有利于适当地增加人口增长率，调整人口年龄结构。全面开放二孩政策，能够使我国人口总量达到稳定、开始减少的时限延后，保证人口总量在一定时间内继续增长。这一举措看似有悖于计划生育政策，实则对人口年龄结构的调整十分有利。它是在保证全国人口数量不会突然大幅度增加的前提下，由开放单独二孩政策到全面开放二孩政策，能够在未来20年，增加青壮年劳动人口的比重，降低劳动人口的平均年龄，减缓劳动人口供给老化现象。

人口增长率和人口年龄结构的调整，在国民经济总量、消费水平、产业结构、社会福利负担等各个角度，都对国民经济发展有积极影响。首先，有利于克服较高的总抚养比对国民经济总量的不利影响。然而少儿抚养比下降，老年人口抚养比却上升。这意味着未来二十年，将有更少的劳动年龄人口供养更多的老年人口。抚养比的不断攀升，会严重制约GDP总量的增长。因此，全面开放二孩政策，能够在未来20年，增加劳动年龄人口的总量，从而减缓老年抚养比不断攀升的趋势，以协调劳动年龄人口抚养老年人口与经济总量增长之间的关系。其次，有利于克服老龄人口比重不断上升对消费水平的不利影响。适当开放“二胎”，增加青壮年人口总数，一方面能够直接提高全社会的消费总量。

中建立数学模型，有利于科学的评价计划生育政策，二孩政策对我国社会发展产生的影响，同时运用数学模型解释这一政策，为大众理解这一政策提供的科学依据。为我国人口政策的政策和实施提供科学依据，对我国制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

随着萨斯模()型、模型、模型等。统计学家马尔萨斯通过假设单位时间内人口的增长量与人口总数成正比，得到人口增长方程（见[2]）。1838年荷兰生物学家模

型(见[3])。何金阳等在[4]中对指数增长模型的基本假设进行修改并比较了两种模型，结果表明马尔萨斯模型的预测误差比Logistic模型的要小,对于预测较短时间的人口数是一个不错的模型。两种模型存在一些共同的不足，即对群体中的每个个体都一视同仁，没有考虑到个体对人口发展的差异。人口的数量不仅和时间有关，还和年龄有关，特别地，出生率和死亡率等都和年龄密切相关。因此，应当考虑连续变化的年龄对人口发展的影响，引入一个用偏微分方程描述的人口模型。