文献综述 关于加权Laplace算子的Faber-Krahn不等式 摘要 我们给出了Dirichlet-Laplacian的第一个特征值的Faber-Krahn不等式的新证明。

该证明具有纯粹的变分性质，沿着以下步骤进行：证明存在一个域，该域最小化规定体积的所有域中的第一特征值，最优域的（部分）规则性证明和反射论证的使用为了证明径向性。

因此，没有使用重排论证，虽然不是这个陈述的最简单的证明，但它具有研究高特征值的对称性质以及其他等周不等式的适应性的优点，例如涉及罗宾边界的那些条件。

研究背景与现状 在过去的20年中，离散数学和连续数学的研究以多种方式相互影响。

例如，拉普拉斯算子在图论和黎曼流形中有着重要的应用借助规范化拉普拉斯算子，Chung在文中指出谱图理论与纯粹和应用、连续和离散数学的关系其实质可以作是一个一致统一的主题。

图的谱与黎曼流形的谱之间的类比对谱图理论的发展有着重要的影响。

例如，Cheeger不等式和结点域定理网在图和流形上都成立。

Faber-Krahn定理是图论与黎曼流形之间的另一个类比。

黎曼 流形上著名的Faber-Krahn定理可以被陈述如下：在n维欧氏空间具有相同体积的有界区域D#8834;R^n中，一个球有最小的第一狄利克雷特征值。

如果一个图在具有相同”体积”的图类中有最小的第一狄利克雷特征值，我们就称这个图具有Faber-Krahn性质。