非线性现象广泛存在于数学、物理、生物等现代科学领域，基本自然规律和技术问题的数学模型通常需要用非线性微分方程来表示。这些问题通常十分复杂具有较大的难度，至今为止，一直是重要的研究课题。随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

早在19世纪，人们就已经普遍认识到了非线性科学的重要性，作为研究非线性现象的自然科学发展至今，非线性科学引领自然科学已然处于前沿地位。在处理非线性现象抽象问题时，Lie群分析方法提供了一种简单有效的通用方法。19世纪末伟大数学家Marius.Sophus.Lie在连续群理论中，提出并详尽地阐述了微分方程对称性。其基本思想就是使用线性和非线性常微分方程的对称性来进行积分。

诸多求解NLPDE的方法之中，Lie对称是公认的普适性最广的方法. 19世纪末，挪威数学家SophusLie(1842#8722;1899)为统一和扩充微分方程的各类求解方法，首次提出了微分方程的对称理论 . 所谓偏微分方程组( 简称为PDEs) 的对称就是指使得该PDEs的解集不变，作用于自变量和函数空间上的局部变换Lie群( 对称群) 的无穷小生成元( 不变向量场)。

虽然，研究者们已经认识到对称理论在求解非线性微分方程时能发挥巨大作用，但是由于算法本身所带来的计算量难以用手工完成，以及历史条件的约束等原因，使得Lie群分析没有被广泛的接受，并且乃至现在仍被大学教育所忽视。

20世纪初，Lie群开始受到重视，直到现在国内外研究者逐步发展了对称理论，提出了Lie-Bauml;cklund变换、CK直接法、势对称、条件对称、强对称、Lie代数结构、近似对称、条件相似约化及同伦近似对称约化等。利用PDEs对称可构造微分方程的解析解、方程约化、哈密顿结构、解的爆破（Blow-up）等重要结论。目前，微分方程的对称理论和方法的研究在包括现代数学、物理和力学在内的众多学科中均有重要的理论和实际意义，并且已有了广泛的应用 。

2. 研究的基本内容与方案

Lie算法是确定对称的主要方法，该算法将确定对称的问题转化为确定对应无穷小向量的问题，而该无穷小向量是由满足所谓确定方程组的无穷小生成函数确定。完成这个过程将面临大量的、复杂的机械化计算，随着所考虑问题的方程( 组) 的阶次的提高及未知函数的增多，求其对称群的计算量迅速增加，导致难于人工处理，因此对称群理论的应用受到了限制。

吴文俊以多项式特征列理论为基础，创建了多元代数多项式联立方程组求解及数学定理证明吴方法，即“吴整序原理”及“吴消元法”。吴方法给出了代数方程(组)求解的完整理论，并提供了机械化算法，使近代非线性数学的研究实现了重大突破. 近三十年，吴方法得到非常广泛的应用，其应用领域主要分为纯代数问题和微分问题两个方面。研究发现，与Ritt方法和Grouml;bner 基方法等其它方法比较，吴方法对处理微分多项式系统有其自己的优点，如运用简便、快捷和计算量小等优点，所以微分形式的吴方法是有效克服Lie算法缺陷的方法之一。近年来，特木尔朝鲁逐步推广并建立了微分形式的吴方法，即吴-微分特征列集算法。该算法主要考虑控制计算过程中符号堆积及易于在机器上实现的问题，使吴方法的应用直接从纯代数理论推广到了微分形式，进一步发展了吴方法. 研究表明，要想直接获得微分方程(组)的所有对称群是极度困难的，而且传统Lie算法中未能考虑未知量的序关系，导致计算机上的无穷循环及工作量大等许多困难，然而这类问题通过利用吴-微分特征列集算法得到了部分解决。

目前，吴-微分特征列集算法成功的应用在PDEs的古典对称、非古典对称、高阶对称、近似对称、势对称、守恒律和对称分类等问题上，取得了优异的成果，促进了PDEs对称理论的研究。最近研究者基于吴-微分特征列集算法研究了对称方法在NLPDE边值问题中的应用，并将对称方法分别与同伦分析方法、变分迭代法和同伦摄动法进行结合解决了边值问题。

1.Nail H. Ibragimov著 微分方程与数学物理问题 高等教育出版社,北京，2013

2.Bluman,G.W,Kumei,S. Symmetrices and differential equations. Springer.New York,1989.