摘 要

随着互联网技术及各种图像处理软件的高速发展，修改、编辑图像已经不是一件困难的事情。然而，由于各种原因，人们获取的图像并不完整，图像出现了部分元素缺失的情况。在很多场景下，缺失部分对用户的应用或者图像的后续处理有着很大的影响。将图像缺失部分补全，恢复完整图像的工作就变得极为重要了。在这种背景下，图像补全技术在计算机图像处理领域得到了广泛的关注并迅速成为一个新的研究热点。本文将矩阵补全技术中的经典算法SVT和FPCA应用于彩色图像补全问题，重点研究彩色图像从三维到二维的转换过程中，不同转换方式对图像补全性能的影响，并提出有针对性的转换结论。

本文主要内容如下：

（1）研究图像补全的目的与意义，归纳总结图像补全技术国内外的研究现状及其应用，同时比较一些现有的图像补全技术。

（2）完成SVT与FPCA算法的实现。研究并分析低秩矩阵补全的基本原理，掌握其补全算法的理论基础，进而完成迭代算法的仿真。

（3）拟定彩色图像RGB三个通道的转化方法，在不同转换方式下比较各算法修复图像的结果。根据不同的矩阵转换方式，得到不同的待修复矩阵，通过比较复原后图像与未被污染图像的相对均方误差，判断修复效果。

（4）在添加噪声的条件下，比较图像修复效果。随机删除图像的部分信息，比较在不同缺损比条件下上述转换方法的修复结果；同时在图像中添加噪声，对比其修复的误差。

（5）根据上述比较的结果，提出有针对性的转换方法。

关键词：彩色图像补全；矩阵补全；SVT；FPCA；核范数优化；RGB三通道；转换方法；MATLAB编程

ABSTRACT

With the high-speed development of the Internet technology and a variety of image processing software, it is not difficult to modify or edit the image. However, for various reasons, people get the image which is not complete, and the image appears part of the lack of elements of the situation. In many cases, the missing part of the user's application or image of the follow-up processing has a great impact. So it is extremely important to restore the complete image. In this context, image completion technology in the field of computer image processing has been widely concerned and quickly become a new research hotspot. In this paper, the classical algorithm that is SVT and FPCA in the matrix complement technology are applied to the color image completion problem. The effects of different conversion modes on the image completion performance of the color image from 3D to 2D are studied, and put forward targeted conversion conclusions.

The main contents of this paper are as follows:

（1）This paper summarizes the research status and application of image completion technology at home and abroad, and compares some existing image completion techniques.

（2）Completion of SVT and FPCA algorithm research and design. The basic principle of the lower rank matrix completeness is studied and analyzed, and the theoretical basis of the algorithm is completed. Then the iterative algorithm is designed.

（3）The transformation method of three channels of color image RGB is proposed, and the results of the algorithm are compared in different conversion modes. According to different matrix transformation methods, different repaired matrices are obtained, and the repair effect is judged by comparing the relative square error of the reconstructed image and the uncontaminated image.

（4）Under the conditions of adding noise, compare the effect of image restoration. Randomly delete the part of the image information, compared with different defect ratio conditions of the conversion method of the repair results; at the same time in the image to add noise, compared to the repair error.

（5）Based on the results of the above comparison, a targeted conversion method is proposed.

Key words: Color Image completion; Matrix completion; SVT; FPCA; Kernel norm optimization; RGB three channels; Conversion method; MATLAB programming

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第1章 绪论 1

1.1 课题研究的目的和意义 1

1.2 图像补全技术的国内外研究现状及应用 2

1.2.1 图像补全问题的描述 2

1.2.2 基于图像处理的方法 2

1.2.3 基于低秩矩阵补全的方法 3

1.2.4 图像补全的应用 4

1.3 本文研究的主要内容及章节安排 4

第2章 低秩矩阵补全问题综述 6

2.1 低秩矩阵补全问题及基本原理 6

2.1.1 相关数学概念 6

2.1.2 低秩矩阵补全 8

2.2 低秩矩阵补全算法的性能评价 9

2.3 典型算法回顾 9

2.3.1 SVT算法 9

2.2.2 FPCA算法 11

2.3.3 SVT与FPCA性能比较 13

2.4 低秩矩阵补全方法在彩色图像补全中的应用 14

2.5 本章小结 15

第3章 不同转换模式下的彩色图像补全比较 16

3.1 RGB三通道直排型 16

3.1.1 无噪声 17

3.1.2 加椒盐噪声 20

3.2 RGB三通道组合型 22

3.2.1 无噪声 24

3.2.2 加椒盐噪声 25

3.3 RGB三通道混合型 26

3.3.1 无噪声 28

3.3.2 加椒盐噪声 30

3.4 实验结果分析总结 31

3.5 本章小结 32

第4章 总结与展望 33

4.1 论文工作总结 33

4.2 未来工作展望 34

参考文献 35

致 谢 37

第1章 绪论

1.1 课题研究的目的和意义

在智能移动设备与互联网技术普及的今天，人们获取图像的方式也越来越便捷，在日常生活中，拍照记录已逐渐成为一种习惯。而在图像的获取、传输及存储过程中，图像的内容往往会发生一些改变，主要表现为图像含有噪声，图像出现部分内容缺失，含有不需要的内容如文字信息等现象。在很多场景下，缺失部分对用户的应用或者图像的后续处理有着很大的影响。例如人们需要一些未被上述现象污染的图像，或者想要除去原有图像中的一些无关信息，如一些凌乱的线条，图像中的文字等，并且不想破坏原有图像的表达效果，这时图像修复就显得非常重要。

最早的图像修复技术出现于文艺复兴时期，当时为了修复一些名贵的油画作品，人们会邀请一些著名的艺术大师对油画的缺损部分进行人工填补，其主要方法是根据缺损部分周围的相关信息来对图像进行填补插值，直到将缺损部分完全修复完整，而如何进行填补则要艺术大师根据自己的经验及对该油画的理解来实现。