摘 要

图像修复技术是当前图像处理领域的一个重要组成部分，随着电子技术和计算机技术的高速发展，图像修复迎来了数字化时代。数字图像修复技术被广泛应用于图像文本去除、医学图像处理、卫星导航与定位、计算机视觉与图片特效制作等领域。其目的是利用图像中现有的信息来恢复丢失的信息。随着图像修复技术的进步，人们对图像修复的质量要求也日益提高。图像修复者应该选择一个最佳方法来复原图像的本来面貌，同时使得修复后的图像达到最理想的状态。近年来，数学领域的一个重要分支PDE（Partial differential equation）凭借着其完备的数学理论基础，在图像处理领域扮演着必不可少的角色。基于PDE的图像修复技术有效的描述了图像的局部特征，可在抑制图像噪声的同时有效地恢复图像细节，这是图像处理领域的一次重大突破。

本文首先阐述了图像修复技术的研究目的、意义、研究现状及研究内容，接着叙述了数字图像的基本定义以及相关的数学原理，包括偏微分方程的概念、最佳猜测原理、贝叶斯理论等。然后，文中展示了PDE作为一种分析工具在图像处理领域中的优势及其特有的数值解法。基于偏微分方程的三种主要的图像修复模型包括了基于高阶偏微分方程的BSCB模型、曲率驱动扩散(CDD)模型、整体变分法(TV)修复模型，本文详细讨论了这三种经典模型的基本思想及其数学推导过程，并分别对上述经典模型的提出、数值实现过程和修复效果进行了仿真分析，总结了各自的优缺点。最后，针对原始TV模型中存在的不足之处，即“阶梯效应”，提出了改进措施，得到了基于p-harmonic模型的变分图像修补模型。该模型选取了更为合理的扩散系数，在避免了TV模型中存在的阶梯效应的基础上，提高了图像的修复速率，同时改善了图像的视觉效果。

关键词：图像修复；PDE；p-harmonic模型；仿真分析；数值实现

ABSTRACT

Image restoration technology is an important part of the field of image processing. With the rapid development of electronic technology and computer technology, we have ushered in the digital image era. Digital image restoration technology is widely used in image text removal, medical image processing, satellite navigation and positioning, computer vision and video effects production and other fields. The purpose is to use the existing information in the image to recover the lost information. With the progress of image repair technology, people's image repair quality requirements are also increasing. Image fixers need to take the most appropriate way to restore the original state of the image, while ensuring that the image to achieve the desired artistic effect. In recent years, an important branch of mathematics PDE (Partial differential equation) with its complete mathematical theory based on the field of image processing plays an indispensable role. image restoration technology based on effectively describes the local characteristics of the image and can not only suppress the image noise but also effectively restore the image details, which is a major breakthrough in the field of image processing.

This paper first describes the research purpose, significance, research status and research content of image restoration technology, then describes the basic definition of digital image and related mathematical knowledge, including the concept of partial differential equation, the best guessing principle, Bayesian theory and so on. Then, the paper shows PDE ,as an analysis tool in the field of image processing ,it has many advantages and unique numerical solution. The three main image restoration models based on partial differential equations include BSCB model based on high order partial differential equations, CDD model and integral varied method (TV) repair model. In this paper, the basic idea of the mathematical derivation process and the classic model of the proposed, the numerical realization process and the repair effect of the three classical model were analyzed. their own advantages and disadvantages were also summed up . Finally, an improved measure is proposed to solve the shortcomings of the original TV model, that is, the "ladder effect", and the varied image repair model based on the p-harmonic model is obtained. The model chooses a more reasonable diffusion coefficient, which overcomes the stepping effect of the TV model and improves the image repair rate and the visual effect of the image.

Keywords: image restoration; PDE; p-harmonic model; simulation analysis; numerical realization

目 录

摘要 I

ABSTRACT II

第1章 绪论 1

1.1 图像修复技术的研究目的及意义 1

1.2 偏微分方程理论在图像处理中的发展及研究现状 3

1.3 本文的研究内容 4

第2章 图像修复的原理 6

2.1 数字图像的原理 6

2.1.1 数字图像中的相邻像素 6

2.1.2 数字图像中的梯度 7

2.1.3 最佳猜测原理和贝叶斯框架理论 8

2.2 基于PDE的图像处理的原理 9

2.2.1 偏微分方程的原理 9

2.2.2 偏微分方程数值解法 9

2.3 基于PDE和变分的图像修复模型 11

2.4 图像修复质量的评价方法 11

第3章 基于PDE的图像修复模型 12

3.1 BCSB修补模型 12

3.1.1 BCSB模型的基本思想 12

3.1.2 BCSB模型的数值实现过程 13

3.1.3 BSCB模型的仿真分析 14

3.2 TV修补模型 17

3.2.1 TV模型的基本思想 18

3.2.2 TV模型的数值实现过程 20

3.2.3 TV模型的仿真分析 22

3.3 CDD修补模型 23

3.3.1 CDD模型的基本思想 24

3.3.2 CDD模型的数值实现方法 24

3.3.3 CDD模型的仿真分析 26

第4章 基于p-harmonic模型的变分图像修补模型 29

4.1 算法的改进 29

4.2 模型及其扩散性能分析 29

4.3 模型的仿真分析 31

第5章 总结与展望 34

5.1 论文工作总结 34

5.2 进一步研究展望 34

参考文献 35

致谢 36

第1章 绪 论

1.1 图像修复技术的研究目的及意义

在当今这个信息化时代，图像作为人类认识世界和探索世界的视觉基础，是人们获取信息的重要来源。随着数字化程度的日益提高，数字图像处理技术已经是地球科学、人工智能科学、生物科学、医学等众多学科研究的热点。

在工厂生产、科研活动和日常生活中所见到的各种各样的场景及图像，蕴含了物体“丰富”的信息，这些信息经过感受、认知、存储、搜索在人脑里形成一个概念，直到最终被判定识别。从某种程度上来说，我们生活在一个“图像世界”里，在这个世界里，图像成为了表达物理世界最简捷、直观和常见的方法。俗话说“百闻不如一见”，图像对一些事物的描述比口头表达等更加直观准确，可以使人一目了然。相关统计发现，在人类感官所接受的全部信息量里视觉信息占了75%到85%之间，照片、图片和视频等各种图像充满了我们的生活。这些图像信息构成了我们视觉信息的基础，我们的科学研究和日常生活都不能脱离它而独立存在。例如，医院做检查常见的彩超和B超，上网时观看的各种综艺、电影视频以及浏览的图片，无人驾驶汽车对自身进行定位和导航所用的卫星遥感图像等。然而，在图像的存储和传播过程中，图像信息往往会因为各种各样的因素形成部分丢失和损坏，常见的有珍藏已久的古代书画，由于保存不当导致模糊和破损，或是出于某种原因图像中的物体或文字不被需要而成为了一种多余信息，又或者是图像压缩或传输过程中因信息丢失而造成了图像隐藏等。这些因素都大大降低了图像质量，影响了我们对图像中重要信息的获取、处理和应用。因此，图像修复技术应运而生并且不断发展，日渐成熟。

从文艺复兴时期，就有人开始研究如何修复一些艺术品，目标是通过修复画面中的一些裂缝使其恢复本来面貌^[1]。同时，有科学家表示大部分图像修复问题都可以被简化成一个数学表达式，并能通过与计算机结合来加以求解。随着计算机技术的不断发展，图像修复问题被广泛关注和研究。现在，可用于图像修复的手段非常丰富，可将其研究方法分为三种：基于概率和统计的方法、基于傅立叶与小波变换方法以及变分和偏微分方程方法。其中，基于变分与偏微分方程的图像处理方法由于其自适应能力较强，且具有各向异性的扩散特性，在处理图像降低噪声的同时可以很好的保持图像的边界、纹理等细节信息，在过去的二十几年中取得了空前的发展[^2]。