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间谐波理论与建模

摘要：本文提出了基于间谐波理论和建模的一系列最引人注目的问题和技术。从基本的定义和概念出发，首先阐述间谐波来源；接着在间谐波估算过程中，尤其注意频率分辨率和与分析周期稳态波形相关的计算负担；最后讨论基于不同间谐波来源的建模以及针对现有的典型间谐波分析方法的改进。所给出的数值结果均引用案例研究文献，这些文献都是由现下流行的关于调速驱动器的方案组成。

关键词：离散傅里叶变换（DFT） 频率分辨率 谐波分析 间谐波

1:简介

在交流系统的频谱成分中，频率是基波频率整数倍的正弦波即为谐波；频率是基波频率非整数倍的正弦波即为间谐波。除了由谐波造成的一系列典型问题（诸如过热，寿命减少等）外，间谐波还能产生一些新的问题，如次同步振荡，电压波动和闪变，甚至电压波形过零点偏移等。随着静态频率转换器，回旋转换器,次同步的转换器级联,调速驱动感应、电弧炉等负载的大量使用，这些负载均与电力系统基本频率非同步，导致电压和电流中的谐波和间谐波不断增加。

至于对间谐波的限制，首要的建议就是对低频段的第95个百分位短时间值的间谐波电压周期性的设定一个非常低的标准值（如0.2％），这样一种低值限制即能保证照明系统电压畸变、晶闸管装置、和远程控制系统等的合规。由于测量困难，可供选择的解决方案仍处于讨论之中，它们是：

（1）和谐波一致，从0HZ到3KHZ之间，限制单个间谐波成分使得电压畸变小于1%、3%或5%(取决于电压水平)；

（2）由IEC闪变计对频率进行检测，对电压闪变严重程度采取限制使得=1.0，，这种限制要比以前应用的更加严格。；

（3）根据对供应系统和连接用户负载的具体使用情况，开发对设备和系统（如发电机机械系统、信号和通信系统和过滤器等）的适当限制。

总而言之，对不同范围的频率，间谐波成分以及闪变等进行不同程度的限制都是尤为必要的。间谐波成分的存在大大增强了对变形的波形建模与测量的难度，这是因为：1）对低值间谐波的关注不够（相比于谐波容易被忽略）；2）频率和幅度的多样性；3）波形周期性的变化；4）高度敏感的频谱泄漏现象。

本文提出了基于间谐波理论和建模的一系列最引人注目的问题和技术。从基本的定义和概念出发，首先阐述间谐波来源；接着在间谐波估算过程中，尤其注意频率分辨率和与分析周期稳态波形相关的计算负担；最后讨论基于不同间谐波来源的建模以及针对现有的典型间谐波分析方法的改进。所给出的数值结果均引用案例研究文献，这些文献都是由现下流行的关于调速驱动器的方案组成。

2．电力系统中间谐波的概念和来源

大量非线性负载的介入，导致在交流电力系统中正常的电流和电压波形发生变形，这种波形变形很大程度是因为一系列谐波和间谐波的存在。本节就对具有稳定性波形频率的间谐波基本定义和相关概念进行系统的阐述。

1. 数学理论依据

谐波的概念是以傅里叶分析为基础，其目的是通过一系列的正弦组件重建非正弦的周期波形。假定x（t）是以T为周期的连续周期信号，且满足狄利克雷条件，则可以用如下公式表示：

（1）

其中，基本角频率，定义为： （2）

这意味着一个非正弦的周期信号可以被分离成一系列频率为基频的整数倍正弦分量,值得注意的是，这个傅里叶级数的时间域和频率域信号具有无限长度。

为了在电脑上实现傅里叶分析，信号在时间域和频率域里都是离散的，且均为有限长（离散傅里叶变换DFT后文将阐述）。假设进行N点采样，其采样周期。则其DFT为：

（3）

其中，，X()即为x（n）的频谱。此处x（n）假定为这个周期信号里面的一个周期，换言之，即这个信号每N点采样后重复循环，频谱的频率分辨率由信号长度决定，

△w=2pi;/T （4）

因此，若T为信号x（n）的周期值，则输出的频谱中只会显示基频整数倍的频率分量，也就是谐波分量。但如果数据长度由p1决定（p1gt;1,且为整数），那么频率分辨率将变为：

△w=2pi;/p1T=w1/p1 （5）

这就意味着，一旦基波频率不只一个时，很有可能得到非整数倍基频的频分量，也就是间谐波分量。例如，如果我们选择五个周期为60Hz的信号进行傅里叶变换，其频率分辨f=60/5=12Hz，那么我们就能得到12Hz，24Hz,36Hzhellip;的频分量，这些频分量也就是我们说的间谐波。

有很多原因导致间谐波的产生，其中之一即一个信号实际上本身就包含非整数倍基频的频分量。如果采样窗口选取恰当，我们就能准确的检测和观察到这些间谐波的频分量。例如，一个信号包含两个基频，即，那么90Hz处在两者之间，也就是间谐波的频分量了。这个信号将会每两个60Hz周期之间重复（如，33.4ms）。因此，如果以33.4ms为窗口大小对此信号进行DFT，那么上述假设的DFT窗口的波形将重现。频率分辨率即为30Hz，那么如图1（a）所示，60HZ,90HZ的频分量都能在图中找到，这就是真正的间谐波，频谱代表了实际信号的各个分量。

然而在某些情况下，间谐波分量是由DFT的栅栏效应和频谱泄露导致的。例如，接着上面的实例，如果间谐波分量变成100HZ，矩形窗口大小的选择仍然是33.4ms，那这个窗口内将包含3.33个周期的100HZ频分量。这是因为，DFT假定窗口外的波形仍能重构，而重复的100HZ频分量也就不完整了。如图2所示，DFT之后的波形与实际波形是不同的。这导致一个低幅值的90HZ间谐波频分量的产生，但是它又与真实的100HZ的间谐波类似，并且，如图1（b）所显示的那样，由于频谱泄露的原因，就产生了一个非实际的虚假间谐波成分。当然，这些非实际的间谐波分量严格取决于窗函数的选定（如，海宁窗），所以减少频谱泄露的方法之一就是选择合适的窗函数（在第三部分将详细说明）。

B．间谐波来源

有些类型的负载能导致间谐波的产生，本节将呈现一些实例以及讨论间谐波频率和负载特性的关系。

1. 双重转换系统：

一般情况下，通过一个直流链接连接两个不同频率的交流系统的电子设备是间谐波来源之一。如各种速度驱动设备，HVDC，以及一些静态变频器都是这一类间谐波来源的典型器件。他们的共同特征是,都包含一个ac / dc整流器和一个dc / ac逆变器,整流器和逆变器通过反应堆或电容进行耦合，这称为直流环节。如果反应堆或电容有无限值，那么在直流方面就不会有波纹，故整流器只会产生频率为fh的谐波，即

(6)

其中，p1为脉冲整流器的数量，n是一个整数，f是电源频率。

然而，在实际情况下，直流侧的反应堆或电容的值是有限的，因此，在直流侧的波纹是不可避免的。当一个整流器的直流电流的链接不是理想的平坦,其交流侧将被直流波纹调制，这样就产生了间谐波。例如，对一个6脉冲的整流器来说，它的特征频率是60HZ,300HZ,420HZ,600HZ,780HZhellip;。如果其直流侧有一个的波纹，那么当前的交流侧将被调制成这些就是间谐波分量。

通常来讲，直流侧的波纹频率包含一系列的频分量，这些频分量是由逆变器的类型决定的。逆变器的类型包括CSI逆变器和VSI逆变器。

在CSI逆变器中，直流侧的波纹频率由脉冲数量，控制方法和逆变器输出频率决定。如果脉冲数为p2，输出频率为f0，则波纹频率为：

（n为整数） （7）

在VSI逆变器中，需要更多复杂的公式来推导直流侧波纹频率，在同步PWM调制策略的情况下，由逆变器产生的谐波频率计算公式如下：

(8)

其中，j和r是由调制比决定的整数，见表一，的相关依赖关系与所采取的切换策略有关。

综上所述，由逆变器产生的频率（7）或（8），将和整流器的特征谐波（6）进行调制，综合产生一个供应方面的频率：

(9)

只要与f非同步，则f即为间谐波频分量。

图（3）是由采用LCI负载逆变器的CSI设备在f=50HZ和f0=40HZ的间谐波情况；图（4）是由同步PWM调制激发的VSI设备在f=50HZ，mf=9，f0=40HZ的间谐波情况。如下：

1. 循环变流器

由回旋转换器介绍的光谱成分是一种特殊的两级变换器系统案例，其频率由以下公式定义：

(10)

其中p1为整流器部分的脉冲数量，p2为输出部分的脉冲数量，m，n为整数，f是电源频率，f0为回旋转换器的输出频率。由整流器调制而产生的直流分量，如果n=0，m=0,1,2,3，hellip;那么fi的值相对于f均为谐波分量。至于由双调制而产生的，如果nne;0，m=0,1,2,3，hellip;若，则fi的值相对于f也均为谐波分量；若，则fi的值相对于f均为间谐波。

直观的说，并不难理解由循环变流器注入产生的间谐波，因为它直接连接两个不同频率的系统。存在于无源滤波器中的，工作在5HZ由循环变流器产生的频谱图如图（5）所示。

1. 时变负载

另外一组主要的间谐波来源的负载即时变负载，其中包括规则和不规则波动负载。

基于产生正弦调制信号的规则波动负载，包括焊接机，激光打印机和积分循环控制的设备。对于这些负载，负载变化的频率决定了间谐波的频率。假定系统电压为,负载特性,当rlt;1，f0为负载频率时，则有，

(11)

对于（11）式中更加具体的数学计算推导中能显示出，i（t）包含fplusmn;f0，fplusmn;2f0，fplusmn;3f0，fplusmn;4f0hellip;的间谐波成分。只要f0与f不同步，那么这些分量都能在频谱中展现。在更加现实的情况中，这些负载有更加丰富的间谐波成分。图（6）为一个激光打印机产生的频谱图。

不规则波动负载的典例就是电弧炉。电弧炉产生的时变和非线性行为，使得当前频谱里既包含谐波，又包含间谐波，分析起来更为困难。

在电弧炉中，众多的间谐波集中在电力系统频率周围。在交直流变换器中的谐波周围，电弧炉在间谐波产生中具有举足轻重的地位。在实际中，交直流转换器的交流侧能与由电弧行为和交换器控制系统决定产生的直流波纹进行调制。由于电弧的行为是“混乱”的间谐波所产生的电弧炉的特点是不断变化的混沌频率。最后，参考频率的一个窗口变化可以忽略(参见第三节),当前交流和直流电弧炉的光谱图7所示。

1. 风力发电机

关于风力发电机，它在电压的间谐波产生中扮演重要的角色。在这种情况下，间谐波产生的本质其实是机械的。特别是,在连续操作定速风力发电机,风力和变塔影效应导致功率波动，故，与电压中的间谐波保持了一致。图（8）展示了机械转矩，实线为风力涡轮机，虚线为风力发电机。图（9）展示了在对数坐标系下的电压的输出范围，其中，实线为时域模型，圈线为频域模型。

1. 意想不到的来源

非线性负载或网络组件本身并不产生间谐波。例如，一个简单的整流器或者无功功率静态生成器，当它反应到存在于供应电压的间谐波分量时，它只吸收间谐波电流。一些间谐波的电流分量和电压频分量一致，一些是取决于最初的间谐波电压频分量。因此，供应电压存在间谐波时，这些都能产生新的间谐波分量。图（10）展示一个简单的实例，其在特定频率（包括电压和电流）下的高灵敏度（50HZ超过两次）交集。这意味着，20HZ(或120HZ)的电压间谐波在20HZ和120HZ周围产生更高的间谐波。

3.间谐波评估

对一个实际间谐波的评估包含各个方面，这体现了它的很多困难之处。主要的困难之一是DFT比较严重的频谱泄露和栅栏效应（在第二节中以及提及）。因此，基于间谐波检测和评估的技术是研究热点之一，当然，发展一些基本的注意事项时很有必要的。

一个理想的技术是能保证所有的非零箱能估测到真正的间谐波和谐波，这就意味着达到的条件即窗口能有效地同步采样到所有的信号频率成分。

当信号中真正的间谐波频分量已知时，那么我们就可以介绍傅里叶基本频率了，也就是信号中所有频分量的最大公约数。然后，用一个与窗口整数对应的傅里叶基频倍数的采样时间进行信号采样，。在实际情况中，相对于，

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