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整形频率响应LMS自适应滤波器

Osman Kukrer,Aykut Hocanin

电气与电子工程系、东地中海大学 美国、土耳其梅尔辛

网布2006年8月11日

摘要

当一个正弦输入信号被相关噪声破坏时，一种新的LMS算法被提出来提高性能。该算法是基于横向滤波器的整形频率响应。这个整形是通过一个类似于不完全LMS自适应方程的不完全参数以及额外的术语在线实现的。这个新术语，它涉及的滤波器系数向量由一个矩阵乘法，是以有效的方式使用FFT计算。提出了自适应滤波器的分析收敛在均值和均方差的意义。为了显示频率响应整形能力，该滤波器在稳态下也进行了分析。仿真结果表明，整形频率响应LMS（FRS-LMS）算法的性能非常有效，即使对于高度相关的噪声也同样有效。

关键词：自适应滤波器；LMS算法；整形频率响应

1.简介

在自适应信号处理中，最小均方（LMS）算法是应用最广泛的一种自适应方案，因为它的简单性和较低的计算复杂度。但是一个基本缺点，就是在高度相关输入时存在性能恶化，其收敛速度高度依赖于特征值扩散（ES）的输入自相关矩阵[1,2]。LMS算法的各种版本已被开发，用以提高相关输入的收敛速度，如变换域和子带分解方法。变换域算法已被开发，以减少特征扩散。进行K-L变换（KLT）[ 1 ]是理想的正交变换的结果，可以获得一个统一的特征值扩散。然而，它的实现需要输入自相关矩阵，目前在实践中获得的知识是难以实现的。K-L变换可通过许多信号独立的近似变换在实际中应用，如离散余弦变换（DCT）[2,3]和离散小波变换（DWT）[ 4 ]。能否成功将取决于它们在K-L变换的近似程度，如果特征值扩散很高，那么未必可以取得成功。本文新提出的LMS算法依赖于横向滤波器的整形频率响应。标准LMS算法并不特别考虑噪声新周期的频谱和修改它的整形频率响应。这一项类似于不完全参数的不完全LMS(5、6)算法的提出及其介绍旨在抑制特定频段的噪声的频率响应具有更突出的意义。由一个标量与不完全LMS参数,提供了新算法的不完全形式的矩阵,矩阵元素是取决于噪声功率谱的。一个应用程序示例将作为自适应线增强器(ALE)[1、7]提出用来说明提出方法的频率特性塑造能力[8]。

本文组织如下:在第二节,对该算法背后的原则以及它的推导过程进行了讨论。在第三节中,对算法的收敛进行分析,结果说明了平均横向滤波器收敛的权向量均值和均方差意义。第四节在整形频率响应的近似分析的情况下，得到自适应增强器。第5节研究了平均重量误差分量收敛到零的速度。第六节考虑与实际问题相关时如何实现算法,描述一个具体方法,减少了算法的计算复杂度。在第七节给出了仿真结果,证明不完全LMS方法在各种相关噪声条件下可以与标准的方法相类似。

2.FRS-LMS算法的推导

考虑一个自适应横向滤波器的输出,给出

y(k) = h^T (k)x(k) (1)

其中h(k) 是自适应权重向量，

h(k) (2)

N是过滤器长度和x(k)输入数据向量,表示为

x(k) (3)

在标准LMS算法(LMS),根据权向量

h(k 1) = h(k) mu;e(k)x(k) (4)

其中

e(k)= d(k)minus;y(k) (5)

是滤波误差,d(k)理想的响应,mu;是步长。LMS算法是一种随机梯度算法,最小成本函数定义为

J₁(k) = e²(k) (6)

在不完全LMS算法中, （6）被修改为规范的滤波器,如下:

Jleaky(k) = e2(k) gamma;hT (k)h(k)

(7)

其中gamma;是不完全参数，可以防止在滤波器系数的漂移，并保持自适应算法的稳定性与输入，但并不适用于所有模式[6]。不完全LMS算法还可以防止拖延，由一个非常小的梯度估计不能更新权重向量引起 [5]。不完全LMS算法已经成功地应用于通信各个领域和自适应信号处理中，用以提高LMS的性能。

现在，考虑在时间步长k的滤波器输出的总加权噪声功率

(8)

其中

(9)

是滤波器在时间步k的频率响应,w0(omega;)是权函数。如果选择的w0(omega;)等于输入信号的不必要分量的功率谱密度(psd) (如测量噪音的ALE),那么（8）成为在过滤器输出的总有色噪声功率。注意，把（9）带入（8）以后G(k)也可以写成

1. (b)

图1权重函数

注意，把（9）带入（8）以后G(k)也可以写成

G(k) = h^T (k)F₀h(k) (10)

这里F0是一个矩阵元素表示为

(11)

成本函数（6）现在减少受到的约束，G（k）小于某个上限P0 [9]。然后，使用拉格朗日乘子的方法，由此产生的成本函数可以被写为

(12)

在12)中最陡下降算法的最小化代价函数是

h(k) (13)

这里nabla;jfrs（K）是相对于向量h(k)的成本函数的梯度向量。梯度向量可以从(12)获得

(14)

使用(13)和(14)得到的滤波器系数向量更新了方程，变成

h(k 1) = [I minus; mu;F]h(k) mu;e(k)x(k) (15)

这里F =xi;F0。一个新的权重函数可以定义为w(omega;)=xi;w0(omega;),所以,元素F是在(11)式中由w取代w0而得到的。让我们来考虑这个算法的应用程序作为一个自适应线增强器。假设噪声功率是集中在频率范围[omega;1,omega;2]。然后,一个矩形的权重函数,如图1所示，将适当抑制这种噪声。在（8）中自适应滤波器可以调整滤波器的系数，以最大限度地减少噪声增益。或者,如果噪声功率的频率范围是未知的或者重叠的频率信号,然后为了避免抑制信号,它可能更合理的使用图1（b）所示的加权函数。注意,如果w1 = w2该算法降低了不完全LMS的重量对应的不完全参数。

根据图1中的权重函数,给出矩阵的元素F

（16）

3收敛性分析

重量误差向量定义为

ε(k) = h_o minus; h(k). (17)

在(17)中ho是维纳霍普夫方程 (Rxx F)ho = p的解决方案,这里Rxx = E { x(n)xT(n)}和p = E { d(n)x(n)} =(p0 p1hellip;hellip;pNminus;1]T。把(17)和(5)代入(15)中我们获得

(k), (18)

这里

f,

是力矢量，并且

etilde;o(k) = d(k) minus; x^T (k)h_o(k),

是估计误差产生的最佳维纳滤波器。应该指出的是,力矢量也可以写成

f (k)d(k), (19)

所以,E { f0(k)} = 0。使用direct-averaging方法[1]来假设一小步的大小,(18)变成

ε₀(k 1) = [I minus; mu;R]ε₀(k) f₀(k), (20)

这里R = F Rxx并且ε0(k)是(18)的零级解决方案[1]。考虑到（20）的期望值，它是明确的，只要满足的特征值。

(21)

也有必要建立weight-error向量在均方收敛的意义。这个分析是通过将差分方程在(20)使用来变换的

Q, (22)

这里Q是R的特征向量矩阵,并且= diag{lambda;₁,lambda;₂,...,lambda;_N)是特征值R的矩阵，转换误差和力向量分别由v(k) Q (k)得到。应用这一转换收益

v (k). (23)

在(23)中第n个标量方程是

v_n(k 1) = [1 minus; mu;lambda;_n]v_n(k) phi;_n(k). （24） (24)取平方和期望,我们得到了

(25)

(25)式的稳态解给出

. (26)

为了能够评估(26)力向量的自相关是必需的,这是

现在,如果输入向量x(k)和d(k)联合高斯分布,高斯moment-factoring定理[1]可以被调用可以给出

Fh_oh

这里是最小均方误差产生的维纳滤波器。结合(27)和(28)我们得到

, (29)

因此

(30)

以其目前的形式,似乎很难解释(30)的第二个任期。为了促进这一项的评价,矩阵的元素F(11)将由以下近似求和:

(31)

其中wcirc;m = pi;w(omega;_m)/M和omega;m均匀间隔的频率在(0,pi;)之间。使用(31)可以把F写成以下形式:

F ), ,(32)

其中W = diag{wcirc;1,...,wcirc;M}, E = [e_ml] isin; R

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