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图像预处理中的边缘检测方法

摘要

边缘检测是用于检测一副图像中物体的边缘在哪的技术。目前已经有了很多种基于相容算子的基础边缘检测方法被广泛利用，然而由于图像本身的性质，这些算法的处理结果都不尽人意。在这篇论文中，我们运用某种预处理手段提取图像中的一些参数以改善边缘检测的效果。所提出的预处理方法涉及到直方图的计算、需要找出峰的总数和抑制不相关的峰。从相关峰的强度值得出阈值，再从这些阈值中，运用Ostu算法确定最佳多阈值，再进行多级图像分割。最后再用标准边缘检测算法检测这些已经预处理过的多段图像。仿真结果表明，经过我们预处理的图像，边缘被检测出的效果更好。同时它也表明，如果将小波边缘检测方法运用于多段图像，会得到更好的边缘检测效果。

关键词

离散小波变换，图像边缘检测，Robert, Prewitt, Sobel, Canny Techniques算子

1.介绍

边缘检测是一种基本的图像分割技术，它将图像定义为有意义的部分或区域。在图像处理技术中，识别图像中物体的边缘是一项基本工作。边缘通常发生在图像的2个不同区域之间的边界，在那里灰度级或纹理中至少有一个会产生突变，用以表示一个区域的结束和另一个区域的开始。边缘检测可以让观察者们看到这些变化。因此，边缘检测技术在医学成像，计算机引导手术，定位目标卫星图像，人脸识别，与指纹识别、自动交通控制系统、解剖结构等方面均有应用。边缘检测技术研究开发了几种基于标准的算子，如罗伯特算子、Prewitt算子，Sobel算子。然而，它们并不能提取清晰的边缘，而且图像的稳定性差，容易受噪声等影响。在Marr Hildrith算子基础上改进的拉普拉斯算子也存在两方面问题：高概率地检测出假边缘以及边缘地位错误可能导致边缘弯曲。但是Canny 在1986年提出的Canny 算子被认为是可以检测出理想边缘的边缘检测算法，却仍然受噪声影响。Canny 的目的是寻找最佳边缘检测算法，即能同时做到提供清晰边缘和降低检测到假边缘概率的算法。

小波分析是一种有效的边缘检测工具，当向模型中加入噪声后，确定性的方法将不再试用。在低信噪比的图像中，噪声必须与噪声模型、乘性或加性。在边缘检测中的一个重要问题是检测滤波器的尺度。小型滤波器可以充分体现细节，但容易受噪声影响，大型滤波器相对稳定，但又容易过滤掉细节。Marr和Hildreth建议用多尺度来描述和综合各种不同的边缘类型，这种尺度相乘法首次在[5]里被证明可以更加准确地进行对边缘的定位。Mallat在数学上说明信号与噪声具有不同的奇异性，边缘结构会随尺度发生巨大变化：噪声会迅速下降。有了这个结论，Xu et al.提出了一种将相邻尺度相乘的基于小波变换的空间选择性滤波技术。Sadler 和 Swami将小波多尺度应用与检测和估计，Bao 和Zhang也提出了一种通过运用多尺度阈值进行去噪的方法。

本文提出了一种预处理方法，能够提高各种标准边缘检测算法的准确性以及抗噪性。该方法由图像直方图的计算，找出峰值和抑制不相关的峰的总数。从对应于相关峰的强度值，得到阈值。从这些阈值，阈值优化多级利用最大类间方差法计算，然后进行多级图像分割。最后，对这些分段图像利用标准算法进行边缘检测。本文的主要工作如下：在第2节中，对标准算子的边缘检测方法进行了综述，并对这些方法的优缺点进行了总结，还对标准的小波边缘检测方法进行了阐述。在第3节中，提出了具体的预处理方法。第4节主要是各个实验的仿真结果，并将进行了预处理的图像和未进行预处理的图像所得到的结果进行对比。我们将第5节对这些实验结果进行总结。

1. 准备工作

边缘检测是确定对象的边缘在图像中所处位置的过程。图1为标准的边缘检测方法示意图。为了感知和检测图像中边缘的剧烈变化，每种标准算子都有自己的方法，接下来将对各个标准算子进行一个简要的回顾和分析。

2.1一阶边缘检测算子

梯度法利用图像一阶导数的最大值和最小值来检测边缘。因此，用二维函数f（x）表示输入图像，然后由以下公式[1]给出的图像梯度：

图1：标准边缘检测流程

[1]

梯度的幅度可以用下列公式[2]计算：

[2]

梯度的方向可以用下列公式[3]计算：

[3]

由方程（2）计算的梯度的幅度，其边缘强度和梯度方向总是与边缘的方向垂直。罗伯特，Sobel和Prewitt算子被分为标准的一阶导数算子，它们操作方便，但是对噪声[ 1 ]高度敏感。

2.1.1罗伯特算子

输入图像与默认模板进行卷积，从而计算出梯度的幅度和方向。罗伯特算子的默认2X2模板如下：

[4]

该算子的优点是操作简单，并且使用的模板小；缺点是太容易受噪声干扰，并且与当今技术不兼容。

2.1.2 Sobel算子

输入图像与默认模板进行卷积，从而计算出梯度的幅度和方向。Sobel算子使用的模板是如下3X3模板：

[5]

与罗伯特算子相比，sobel算子的处理速度较慢。不过它的抗噪性比罗伯特算子要强一些。

2.1.3 Prewitt算子

相比Soble算子，Prewitt算子可以得到更好的结果，这两个算子的边缘检测处理方法基本相同，但是运用的模板不同：

[6]

2.2二阶边缘检测算子

任何二阶定义上必须满足：①在平滑区域有零点；②在斜坡和台阶边缘中，进入边缘和离开边缘过渡时的二阶导数的符号相反（从负到正或者从正到负）；③存在零交叉点。对于2D图像f(x,y)，拉普拉斯算子被定义为：

[7]

无论是哪一种定义方式，它的性质必须满足二阶导数方程的特性。下列符号代表的是在x和y两个方向上的二阶导数：

[8]

[9]

[10]

并且，当一阶导数为最大值时，二阶导数为零。

2.2.1拉普拉斯算子

图像函数f(x,y)的拉普拉斯算子定义如下：

[11]

在这种定义下，拉普拉斯算子的模板被调整为：

[12]

2.2.2拉普拉斯-高斯算子（Marr-Hildreth边缘检测法）

拉普拉斯高斯算子（LOG）遵从以下四步：

①首先用以下高斯滤波器对图像进行平滑处理：

[13]

②接下来用如下的拉普拉斯算子对边缘进行增强：

[14]

③估计零交叉点，并以此表示边缘的位置；

④使用线性插值来确定边缘的亚像素位置。

sigma;的值越大，高斯滤波器的范围越广，图像越平滑。过于平滑也许会给边缘检测提高难度，高斯拉普拉斯算子又被称为墨西哥草帽函数。

2.2.3DoG算子

为了降低算术要求，LoG算子是DoG算子的近似。DoG算子可以通过调整两个sigma;的大小来调整边缘的宽度。图像函数f(x,y)的DoG算子通常被定义为如下形式：

[15]

对于大型的边缘检测任务来说，LoG算子需要花费更多时间。二阶边缘检测算子有许多特性，下列三条是二阶边缘检测算子最重要的三条性质：

①二阶边缘检测算子，特别是拉普拉斯算子，很容易受噪声影响；

②依旧存在边缘识别错误或遗漏等问题；

③边缘定位的效果比一阶边缘检测算子要好。

2.3 Canny算子

Canny边缘检测算法是众所周知的最优边缘检测器。Canny想要优化当时已存在的许多边缘检测器，于是开始了他的工作。从现在来看，他的发现和工作成果都是相当成功的。在他的论文中，他遵循了一系列标准来改进现有的边缘检测方法。首先并且最重要的就是降低错误率，边缘检测不应该遗漏某些边缘，也不应该在没有边缘的地方出现响应；第二，应该做好边缘定位，也就是说，算法检测出的边缘和图像实际的边缘的像素差应该越小越好；第三，每个边缘都应该只响应一次，之所以提出该条，是由于光凭前两条是不足以完善边缘检测算法的，还要消除某边缘多次响应的可能。

基于这些标准，Canny算法首先要给图像去噪。对于图像上每个点我们都会标示这个点上的最大值以及生成的边缘的方向，这样我们就从原始图像生成了图像中每个点亮度梯度图以及亮度梯度的方向。接着Canny算法会追踪这些区域，并将最大值以外的部分全部抑制（非最大值抑制），并使用滞后阈值进一步精确边缘，滞后阈值是用来追踪没被抑制的像素的。滞后阈值会用到两个阈值，如果幅度低于第一阈值T1，它将被设置为零（非边缘），如果高于第二阈值T2，就会被认定为边缘，如果介于两个阈值之间也会设置为0，除非有路径通过该点和上面阈值超过T2的点。为了实现Canny算法，必须遵守以下步骤：

①用二阶高斯滤波器对图像进行平滑处理；

②取图像梯度；

③用x方向和y方向的梯度计算出图像的边缘；

④将边缘的方向相互联系起来以便在图像上进行追踪；

⑤非最大值抑制；

⑥滞后处理。

2.4经典边缘检测算法的优点及不足

每一种边缘检测算法都有其优缺点，表一总结了每种边缘检测算法主要的优缺点：

2.5基于小波变换的边缘检测

2.5.1二维离散小波变换边缘检测法

首先我们定义一个二维的高斯方程：

[16]

算法	优点	缺点
经典算法(Sobel, Prewitt, Kirsch)	简单，可检测出边缘的方向	易受噪声影响，不精确
过零点（拉普拉斯，第二方向导数）	可检测边缘的方向，并将各个方向进行合并	对已有的边缘会进行重复响应，易受噪声影响
拉普拉斯高斯算子（LoG)-(Marr-Hildreth)	可以准确定位边缘位置，且在像素周围检测的范围更广	在图像角落、曲线以及灰度变化大的地方容易出错，不由于使用了拉普拉斯滤波器而不能检测出边缘方向
高斯(Canny, Shen-Castan)	提高了对边缘定位的准确性，提高了抗噪性能，在有噪声影响的情况下表现良好	算法复杂，会有错误的零点，耗时长

表1：各个边缘检测算法的优缺点

在[16]式中，sigma;指的是信号的标准误差，而我们假设mu;x和mu;y为零。我们定义两个小波方程如下：

[17]

[18]

[19]

图像信号f(x,y)在尺度s上的小波变换有两个要素，定义如下：

[20]

[21]

2.5.2实现小波边缘检测

小波边缘检测的整个过程可表现为图2，每一个过程和每个过程相应的输出会在下面的章节中进行讨论。

2.5.3平滑

我们对图像进行平滑处理，并检测其一阶导数变化剧烈的地方。平滑函数是任何积分为1且无穷远处收敛为0的函数，也可以将平滑函数等同为高斯函数。

[22]

我们假设：

忽略旋转变化，即：

我们用平滑函数与图像进行卷积去除小信号波动，特此来检测剧烈变化的部分。不同图像所拥有的边缘和细节会改变sigma;的值，通过卷积来完成对图像的线性滤波。在卷积中，输出像素的值被计算为相邻像素的加权总和，权重矩阵称为卷积核，也称为滤波器。一般情况下二维小波变换拥有R4（即四维， x，y，缩放和旋转），在每一部图像都会与小波信号卷积以得到一个系数，然后用高斯滤波器平滑，无论是哪种都是运用的独立的一维垂直或水平滤波器。

图2：经典小波边缘检测法流程

2.5.4局部模极大值

为了计算出图像小波变换中的局部模极大值，我们首先要找到：模，其次是在每一个尺度小波变换的角度。局部模极大值的定义是，该点的模要大于处于相应角度值的方向上的两个相邻的模。首先我们要知道怎么得到图像的模：

[23]

接下来我们要获得各个尺度的角度。当描述邻近像素的时候，只有四种可能的角度：0度（水平方向）、45度（沿正对角线）、90度（垂直方向）、135度（沿负对角线）。

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