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摘 要

本文简要介绍了二维有限元法的基本原理，在此基础上，应用有限元法结合区域分解法求解静电问题。首先运用区域分解法把静电空间分解成若干个子区域，通过相邻区域的边界连续条件，将原问题的求解转化为对各子域的求解，然后应用有限元法进行分析，形成矩阵方程，最后应用高斯消去法解方程。作为算例，应用有限元法结合区域分解法求

解静电问题，结果与有关文献一致。

关键词：有限元法，区域分解法，静电问题

Abstract: This paper introduces the basic principle of two-dimensional finite element method,on this basic,combining the finite element method and the domain decomposition method to solve the problem of static electricity .First of all,to use the regional decomposition method to divide static space into several sub areas,transform the original problem to the solution on each subd- omain. After that,apply finite element method to analysis,firming matrix equations.Finally,utilize

Gaussian elimination method to solve equations.As an example,the combination of the finite element method and the domain decomposition method to solve the problem of static electricty,whose results accord with relevant literatures.

Keywords：Finite element method , Domain decomposition method, Electrostatic problems

目 录

1 引 言 4

2有限元法的基本原理 4

2.1边值问题 5

2.2变分公式 5

2.3区域离散 7

2.4 插值和单元分析 8

3.区域分解法的基本原理 10

3.1有限元法中的区域分解法 10

4计算实例 12

结束语 13

参 考 文 献 14

致 谢 15

1 引 言

有限元法是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种数值计算方法。它是上世纪五十年代首先在连续体力学领域--飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后被广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

有限元法是以变分原理和剖分插值为基础，近似求解数理边值问题的一种数值计算方法。它首先利用变分原理把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题，也就是泛函的极值问题，然后利用对场域的网格剖分离散和在单元上对场函数的近似插值，将变分问题转化为普通多元函数的极值问题，最终归结为一个代数方程组，解之即得待求边值问题的数值解。

然而，由于计算机内存与求解速度的限制使得有限元的发展受到了阻碍。采用有限元法结合区域分解法（DDM），能够有效地解决这一问题。区域分解法师一种“分而治之”的思想解决问题的方法，它将求解区域分解若干子区域，然后通过相邻区域的边界连续条件，将原问题的求解转化为对各子域的求解，进而得到整个区域的解。

静电问题是电磁场的一个基本问题。本文应用有限元法结合区域分解法求解静电问题，结果与其它文献一致，证明了本文方法的有效性。

2 有限元法的基本原理

首先以一个二维场问题来介绍用有限元法求拉普拉斯方程的基本原理。

图1 任意一个二维区域S

图1表示任意一个二维区域S，其边界分别为。假设场满足下面的拉普拉斯方程和边界条件

(1)

上述定解问题对应的等价变分表达方为^[1]

(2)

2.1 边值问题

考虑二阶方程所定义的边值问题

（x，y） (3)

式中，是未知函数，、和是与区域物理性质有关的已知参数，是源或激励函数。常用的二维拉普拉斯方程，泊松方程和赫姆霍兹方程是（3）的特殊形式。

所考虑的边界条件为：

在上 （4）

及 在上 （5）

式中，表示包围面的轮廓或边界，是外法向单位矢量，、和是与边界物理性质有关的已知参数。特别地，和能被看作边界源或边界激励。显然，渃曼边界条件是（5）式在时的特例。

2.2 变分公式

上述边值问题的变分公式可表示为

(6)

式中

(7)

注：若存在不连续界面，则必须用连续性条件（5）式来补充（6）式.

上述变分原理的证明非常类似于一维情形。首先，取对的第一变分，得到

(8)

引用恒等式 (9)

以及散度定理（假设和在整个区域上连续）

(10)

则（8）式可写成

(11)

因为在上的值是固定的，沿为零，所以，在上的相应积分为零。因此，（11）式可写成

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