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摘 要

二维光子晶体可以作为对光子传输控制的新型材料。本文主要通过平面波展开法对二维光子晶体进行数值计算及其性质分析。首先我们介绍了二维光子晶体的基础概念、结构、介电性能等特性。然后基于麦克斯韦方程，由傅里叶法展开的中心方程的进行推导，得出计算二维光子晶体能带特性的计算公式。最后通过matlab编程实现，仿真其特性曲线，直观的反应出这种晶体内部能源、热容、熵密度等性质随时间变化的关系。

关键词：二维光子晶体，带隙，能带研究，平面波展开法

Abstract：Two dimensional photonic crystal can be used as the model material photonic transmission control.This paper mainly researches two-dimensional photonic crystals numerical calculation and property analysis by the plane wave expansion method. Firstly, we introduced the two-dimensional photonic crystal basic concept, the structure and dielectric properties. Then we deduces the two-dimensional photonic crystal band characteristics calculation formula by the Fourier method of center for deduction based on the maxwell equation. Finally we obtained its characteristic curve by matlab programming, which expressed the internal energy , heat capacity and entropy density crystal properties.

Keywords：Two-dimensional photonic crystal，Bandgap，Band research，Plane wave expansion method

目 录

1 引言 5

1.1 光子晶体概念 5

1.2 光子晶体计算方法 6

1.3 研究意义 7

2 光子晶体简介 7

2.1 介电性能和结构 7

2.2 倒易点阵矢量和布里渊区 8

3 平面波展开法 9

3.1 本征方程 9

3.2 平面波展开 10

3.3 傅里叶系数 12

4 二维光子晶体仿真 13

4.1 色散关系和态密度 14

4.2 热力学性质 14

结论 18

致谢 19

参考文献 20

附录 21

1 引言

1.1 光子晶体概念

自1987年，美国贝尔实验室的E Yablonovitch和普林斯顿大学的S John分别在各自的研究领域，第一次提出光子晶体（Photonics Crystals）这个概念[1,2]。光子晶体有一维、二维、三维的区分，分别对应于一维、二维、三维方向上电介质周期性排列。光子晶体是介电常数的不同的区别，存在于一维、二维、三维空间周期性排列的微结构[3-5]。“光子晶体”和传统意义上的“晶体”有相同也有不同的地方。相同的地方是，他们都是由大量原子周期性排列组成的；不同的地方是：第一“光子晶体”是可以用来超控光的，普通晶体不行。第二“晶体”组成单元是原子，“光子晶体”组成单元是宏观的块状的材料，也有人说是散射体。

现代电子学的基础是电子能带和带隙，固体物理学知识告诉我们，电子在半导体中传播时，由于受到周期势场的布拉格散射，电子的能级就能形成能带。周期势场的变化越是强烈，能量间隔就愈宽，就有带隙产生。与半导体相似，是由于电子波函数与晶体周期电势场相互作用的结果，此时其中的介质的折射率周期性变化同样可以出现带隙结构，进而由光带隙的结构来达到控制光在光子晶体中运动的效果。与此类似，光波的色散曲线形成带状结构，带与带之间有一定可能性会出现类似于半导体禁带的“光子禁带”。频率落在禁带中的光波一定会被禁止传播。任何波受到周期性调制都是会产生带结构的，也有一定机率出现带隙。能量波落在带隙中，不管是电磁波还是光波都不能传播，会被反射，无法通过光子晶体。

由上，大家开始根据现实需要来设计对我们有用的晶体，使它能够禁止某一频率范围的光进行传播，而又让另外的的频率范围的光可以传播，控制光传播的路径或者让光波限制在一个特定的区域。从资料上查询到，目前调节和控制光子能带结构的方法主要有两种。一是改变光子晶体组成材料介电常数；二是改变光子晶体晶格结构。相信不久的将来，这些研究会为人类更好的服务。由于光子晶格结构与通常晶格类似，描述晶体的许多概念都可以用在光子晶体上。例如，，光子晶体中散射体排列的具体形式称为光子晶体晶格。晶格的最小周期性单元称为原胞。除此之外，固体物理学中的Bloch函数、倒格子、布里渊区等都可以用来描述光子晶体。另外，人们也可以通过改变光子晶体中某一个或某一区域的组成材料，从而在光子晶体内引入缺陷，这样来改变光子晶体能带结构。这样的人为能动性更强，可操作空间更大。

光子晶体与通常晶体有许多的共同点，但是也存在很多不同的地方。例如，光子的运动服从麦克斯韦方程组；而电子的运动服从薛定谔方程。另外，电子之间是有很强的相互作用的，光子是不具有的。

1.2 光子晶体计算方法

目前要想对光子晶体进行计算主要有3种方法：时域有限差分方法和转移矩阵方法还有平面波展开法。本节将对这些方法进行简单介绍，会阐明选择平面波展开法的原因，也可以看出应用平面波展开法的优越性。

平面波展开法（简称：Plane．Wave Expansion Method，PWE方法），是目前应用比较广泛的计算光子能带结构的方法之一。根据光子晶体结构的周期性，只需对一个光子晶体原胞进行计算然后我们就可以得到整个光子晶体的能带结构。因此，这种方法高效简洁。首先把周期性的介电函数展开成傅立叶级数，把入射电磁波在倒易空间进行平面波展开，然后将得到两者的展开式代入光子晶体主方程，这样我们就可以得到矩阵形式的本征方程，最后根据矩阵的本征方程来编写程序，沿着不可约布里渊区边界计算方程的本真值，多次计算得出多次结果，将这些值连接成线，就可以得出光子晶体能带结构（又称光子晶体射散曲线）。总结来说，平面波展开法的特点：它能高效、比较准确的计算完整的周期性晶格结构的一维、二维、三维光子晶体能带结构。但对于周期性结构被破坏的光子晶体结构，平面波展开法这种方法没法计算。当然，现在如果结合超原胞技术，平面波展开法任然可以用来计算其能带结构。平面波展开方法以其计算周期短、容易实现计算机编程、对光子晶体物理本质的反映和较准确性成为目前应用比较广泛、比较重要的计算方法之一。

时域有限差分方法（简称：Fite．Differences Time-Domain Method，FDTD方法）也是一种重要的光子晶体计算方法。该方法是基于麦克斯韦方程组在有限空间的离散化得到差分方程，该方法计算量也系统大小成正比。然而这种计算方法忽略了光子晶体的周期性结构，所以能计算结构不限、任意缺陷、有限大小的光子晶体。它的缺点和有点相同，该方法对于周期性单元比较多的光子晶体计算效率很低，需要大量的计算资源才能够得到比较精确的结果，要求较高。转移矩阵方法(Transfer Matrix Methods，简称TMM方法)也是一种重要的光子晶体计算方法。能够用来计算二维或三维光子晶体。它的思想是，将光光子晶体划分成很多相互平行的层，将每一层两侧电磁场的关系列出矩阵方程。相邻两个层对应的矩阵方程也可以经过合并。这样不断的合并，直到矩阵方程能够表示整个光子晶体两侧的情况。实际上传输矩阵方法适合于计算复杂晶体结构的透射、反射系数，对物理概念理解帮助不是特别大。

1.3 研究意义

目前，二维光子晶体无论是在理论方面还实验方面都引起了人们的广泛关注。一方面，人们有可能利用二维光子晶体实现类似于集成电路的平面光学集成(PlanarIntegrated Optics)和光子线路(Photonic Circuitry)，而光集成比电集成的计算效率更高，体积可以做更小。另一方面，目前光子晶体的最重要应用之一，光子晶体光纤绝大部分都是二维光子晶体。此外，在制备方面，由于受到目前实验技术的限制，制做三维光子晶体难度大、成本高。而且由于光子晶体的尺度应该与入射波的波长属于同一量级，若要制各可见光波段的三维光子晶体则更加困难。二维光子晶体制备相对容易，周期性结构相对容易控制，而且可以采用在半导体工业中已经发展比较成熟的制备方法。综合上述这些原因，目前越来越多的研究人员将目光转向了二维光子晶体。因此，本文选择二维光子晶体作为研究对象有十分重要的现实意义。

2 光子晶体简介

2.1 介电性能和结构

我们研究的这种光子晶体是一种具有六角形排列的空气孔结构，它的介电材料的介电常数=13.我们近似把电磁波在空气中传播速度看成光传播的速度，我们会这样认为。。点阵常数的孔半径R的比率a=0.5m应该变成.因此在本文档中每个细节都将被计算通过这些特性。在实际的空间中的六角格子晶体原始依据向量我们可以把它写成:

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