摘 要

本文借助MATLAB软件对基于稀疏傅里叶变换的信号压缩进行了仿真，包括窗函数的构造，对稀疏的信号进行压缩与重构，验证压缩算法的正确性。

论文主要研究基于稀疏傅里叶变换的信号压缩的关键技术，包括频谱重排，平坦窗设计，重构算法。过程包括：利用信号频域上的大值点，进行分箱子处理，保证每个箱子中只有一个或者零个大值点。为了验证算法的正确性，需要证明压缩后的信号可以完整还原出原信号，利用定位循环找出箱子中大值点的位置，在通过估值循环算出时域上的信号。

研究结果表明：当信号具有稀疏性，基于稀疏傅里叶变换的信号压缩算法是可行的，压缩的过程中可以忽略冗余的数据，保留有用的信号。如果信号的稀疏性不够明显，则不能很好的重构原信号。经研究得出，该算法的运算效率大于快速傅里叶变换，稀疏信号的压缩领域还有很大的发展空间。

本文的特色：文中不仅全面论证了该算法比普通算法运算效率更高，还对该算法的实际应用进行了可行性的研究。分析了算法的不足与待突破的关键技术，并对压缩技术的未来进行了展望。

关键词：稀疏傅里叶变换；信号压缩；信号重构

Abstract

In this paper, the software compression based on sparse Fourier transform is simulated by MATLAB software, including the construction of window function, compressing and reconstructing the sparse signal, and verifying the correctness of the compression algorithm.

This paper mainly studies the key technologies of signal compression based on sparse Fourier transform, including spectrum rearrangement, flat window design and reconstruction algorithm. The process includes the use of the signal point on the frequency field, the sub-box processing to ensure that each box only one or zero point. In order to verify the correctness of the algorithm, it is necessary to prove that the compressed signal can completely restore the original signal, use the positioning cycle to find the position of the large point in the box, and calculate the signal in the time domain through the estimation cycle.

The results show that when the signal is sparseness, the signal compression algorithm based on sparse Fourier transform is feasible. In the process of compression, redundant data can be neglected and the useful signal can be retained. If the sparsity of the signal is not obvious enough, the original signal can not be reconstructed very well. It is concluded that the algorithm is more efficient than fast Fourier transform, and there is still a lot of room for spatially signal compression.

The characteristics of this paper are not only a comprehensive demonstration of the algorithm than the average algorithm is more efficient, but also the practical application of the algorithm feasibility study. Analyzes the shortcomings of the algorithm and the key technology to be broken, and prospects the future of compression technology.

Key words: sparse Fourier transform, signal compression, signal reconstruction

目 录

第1章 绪论 1

1.1研究的目的及意义 1

1.2国内外研究现状 2

1.3研究内容 4

第2章 稀疏傅里叶变换的理论研究 5

2.1快速傅里叶变换 5

2.2稀疏傅里叶变换理论 5

2.3稀疏傅里叶变换的可行性研究 8

第3章 信号压缩理论的研究 10

3.1范数约束准则 10

3.2频谱重排 10

3.3平滑窗函数滤波器 11

3.4频域降采样 13

3.5重构算法 13

第4章 信号的压缩算法与仿真 15

4.1算法仿真 15

4.2仿真结果与分析 16

第5章 总结 21

参考文献 22

附 录 23

致 谢 30

第1章 绪论

1.1研究的目的及意义

稀疏傅里叶变换是在快速傅里叶变换的基础上，利用信号的稀疏性，简化算法，提高运算效率，如今，快速傅里叶变换的处理速度已经无法满足现代社会的需求，在信号压缩方面，由于信号的稀疏性，导致快速傅里叶变换的压缩处理并不彻底，这就要求更高效更快速更便捷的算法，而稀疏傅里叶变换可以利用信号的稀疏性，剔除多余的信息，把主要的信息压缩，从而达到提高了数据处理速度，使得信号的压缩率更大，这样，更有利于信号的传输。

通常，信号中的有用的信息相对于整条信息而言，只占有很小的一部分，在信号中的表示便是，频域上的大值点，这些大值点保存着信号的有用的内容，这些内容要在压缩的过程中完好的保留下来，然而，目前的基于快速傅里叶变换的信号压缩虽然可以完好的把需要的内容保存下来，但是，并不是最大程度的压缩，在处理信号的过程中，如果，冗余的信息到达了TB的数量级，那么即使通过快速傅里叶变换，由于计算了多余的冗余信号，处理速度就会变的十分缓慢，这样，极大的困扰了现代技术的发展^[1]。假设信号中的有效信息相对于整个信号来说很短，也就是表示这个信号的有用内容只占了一小部分，这样的话，就表示这个信号具有稀疏性，当一个具有稀疏性的信号进行压缩的时候，快速傅里叶变换会把所有的频点进行计算，即使是无用的频点，这就是信号处理中的弊端，压缩的主要目的，就是要剔除这些无用的内容，最大限度的保留主要信息，将大值点保留下来，通过稀疏傅里叶变换，对信号进行更快速的压缩，从而提高数据处理速度^[2]。

基于稀疏傅里叶变换的信号压缩，能更大限度的提高压缩比，在进行数据处理的过程中，由于剔除了大量无用的信息，相当于只保留了主要信息，在生活中，好比把富含杂质的矿物质用更加高效的处理方法进行处理，只提取需要的矿物质，在运输过程中，如果不进行筛选，直接把富含杂质的矿物质运输，就相当于把残渣也加入到运输过程中，这无疑极大地降低了运输效率，明显的方法，便是把这些残渣筛选并剔除出来，而稀疏傅里叶变换的信号压缩，就是把这些残渣筛选并剔除的过程。基于稀疏傅里叶变换的信号压缩可以让信号的传输更加简洁。