摘 要

自光镊产生以来，光镊技术在不断发展的同时，也被广泛的应用在物理、化学以及细胞生物学等领域。现如今，在理论上已经发展出了很多计算微粒受力的方法。比如光波长远小于粒子尺寸的米氏粒子是采用几何光学模型进行受力分析，而对于光波长远小于粒子尺寸的瑞利粒子和光波长与粒子尺寸相差不大的中间粒子则采用电磁学模型进行近似的定量计算。本文研究的是米氏粒子在聚焦贝塞尔-高斯光场中的受力，采用几何光学方法进行计算和模拟。

本文首先在基础理论部分阐述单光线入射的射线法，总结粒子在单光线受力的表达式。通过单光线光力叠加得到单光束光力。改变光场分布，得到在聚焦贝塞尔高斯光束中粒子散射力和梯度力随粒子偏离焦点距离的变化曲线。最后，改变光学参数，得到阶数、粒子大小、折射率对受力影响曲线，相关结论对合理选择光学参数进行相关工作有一定指导意义。

关键词：米氏粒子；贝塞尔-高斯光场；散射力；梯度力

Abstract

Since the generation of optical tweezers, optical tweezers technology in the continuous development, but also widely used in physics, chemistry and cell biology and other fields. Nowadays, in theory, have developed a lot of calculation method. For example, the Mie particle-which the wavelength of light is less than the particle size, adopts the geometrical optical model for force analysis, while for the Rayleigh particle whose wavelength is less than the particle size and the intermediate particle whose wavelength is not too different from the particle size, the electromagnetic model is used for approximate quantitative calculation. This paper study the forces exerted by the Mie Particles in the focused Bessel-Gauss light field, using the geometrical optical model.

In this paper, the ray method of single ray incidence is described firstly,and the expression of particle force in single ray is summarized. Single beam force is obtained by superposition of single ray force. By changing the distribution of the light field, the curves of the scattering force and gradient force of particles in the focused Bessel-Gauss beam are obtained. Finally, the influence curve of order, particle size and refractive index on the force is obtained by changing the optical parameters. The relevant conclusions have certain guiding significance for the reasonable selection of optical parameters for the relevant work.

Key Words：Mie Particle;Bessel-Gauss beam;Scattering force;Gradient force

目 录

第1章 绪论 1

1.1 研究背景及意义 1

1.2 国内外研究现状 1

1.3 光力分析模型 2

1.3.1 米氏粒子 2

1.3.2 瑞利粒子 3

1.3.3 中间粒子 4

1.4 研究内容与章节安排 5

第2章 光镊的基本原理 7

2.1 光压的定义 7

2.1.1从光的电磁理论出发 7

2.1.2从光量子理论出发 7

2.2 梯度力光阱 8

2.3 散射力和梯度力 9

第3章 光镊的捕获光场 11

3.1 高斯光场 11

3.2 贝塞尔高斯光束 11

第4章 数值模拟和仿真 14

4.1 单光线和单光束 14

4.2 贝塞尔高斯光束 15

第5章 总结与展望 19

5.1 总结 19

5.2 展望 19

参考文献 20

致 谢 22

第1章 绪论

光学是一门既古老又现代的学科。经典光学主要以电磁辐射本身为研究对象，而近代光学的发展则以光与物质的相互作用为主要研究内容。光镊是80年代基于激光技术发展出来的，光镊技术展现了光具有动量的属性，不仅丰富和推进了光学领域的发展，也为光学联合众多姊妹学科搭建了桥梁。

1.1 研究背景及意义

光镊技术是利用强会聚光束与微粒之间线性动量的传递实现了光对微粒的三维捕获及操控,这种操控具有非接触式操控、无机械损伤、不干扰粒子周围环境等优点。由于光镊技术可以对微粒子的皮牛顿量级力进行捕获和操控，光镊技术已广泛应用在生物医学和物理学等领域，比如利用光镊操纵细菌和病毒^[1]、利用光学微操作实现对单条水稻染色体的分选^[2]、研究血管性假血有病因子的去折叠和折叠过程^[3]、对活体内血红细胞进行实时观察和操控^[4]、细胞融合^[5]、双光束直接拉伸细胞进行细胞膜的弹性测量^[6]等。

光镊是一个典型的学科交叉工具，而且光镊的功能和应用范围还在不断扩展，与其他技术的结合也在不断创新，它的应用前景将更加广阔，也将促进包括物理学、生命科学、化学、材料科学以及医学等学科的交叉发展。由于贝塞尔高斯光束具有无衍射和自重建性，高阶的贝塞尔高斯光束在轴上存在相位奇点，因此贝塞尔高斯光束常被用于光镊捕获中，比如低折射率粒子捕获、多粒子捕获以及粒子分选。米氏粒子在光镊理论中是最常见的，研究米氏粒子在贝塞尔高斯光场中的受力，进而分析光学系统参数（粒子大小和折射率、光束波长和阶数）对粒子受力的影响，对于光镊实验中操纵对象的形状与大小、仪器参数的选择和改善都有着不可忽视的指导意义。

1.2 国内外研究现状

Ashkin 在1986年通过单束强聚焦激光形成了三维梯度力势阱并成功地完成了对介质微粒的稳定捕获^[7]，也就是现在的光镊。在理论方面的进展，有Ashkin对单光束梯度力的研究^[8]、对双负介质球的作用力分析^[9]等。近些年，主要对不同粒子在光镊中的受力进行分析。比如研究瑞利粒子在贝塞尔光束中的轴向力，并进行不同参数对其运动状态影响的实验^[10],相应的还有根据几何光学法进行理论分析，对米氏粒子轴向和横向力进行测量和研究^[11]等。时至今日，许多理论模拟的结果都得到了实验的验证，对米氏粒子的受力分析主要采用射线法^[12],对瑞利粒子的受力分析主要采用电偶极子法^[13]，而对中间粒子的受力分析是采用电磁场法^[14]，这些分析结果都应用于实现不同功能的光镊开发和研究之中。

起初，只有少数科研机构根据自身需要搭建光镊系统，随着理论及科技发展，各种功能、各种形式的光镊都在不断涌现。比如采用多光束进行干涉产生的光场进行捕获瑞利粒子的光镊^[15]，还有Osaka大学设计的双光束装置用来捕获肌动蛋白链^[16]，另外还有用于生物技术研究的倒置显微镜光镊等。如今，光镊的发展趋势多是结合各种新型光场实现特殊的或者复杂的操纵功能，比如对多微粒进行同时操控的全息光镊、对粒子纵向位置操控的贝塞尔光镊和进行旋转操作的涡旋光镊。

1.3 光力分析模型

光阱是由强聚焦激光与微粒相互作用达到三维稳定捕获而形成的势阱，微粒受到的光阱力的理论模型一般采用几何光学模型和电磁场模型。米氏粒子通常采用几何光学中的射线法，瑞利粒子通常采用电偶极子法，中间粒子则采用电磁场法。下面对这三种粒子相对应的光力分析模型进行介绍，其中重点介绍米氏粒子所采用的几何光学法，也是此次研究所使用到的理论分析方法。

1.3.1 米氏粒子

在射线光学或几何光学中，人们把总光束分解成具有适当强度、方向和偏振状态的单独光线，这些光线在折射率均匀的介质中沿直线传播。每条射线都具有零波长平面波的特性，根据通常的菲涅耳公式，当它反射、折射和改变介质界面的偏振时，它可以改变方向。几何光学法是求解米氏粒子捕获力的主要思路，首先求得单光线对微粒的捕获力，然后对受光面上所有光线作用力进行积分求和，最终得到微粒总的捕获力。下面介绍采用射线法来计算单光束对球形微粒的作用力。射线法的模型如图1.1所示：

图1.1 几何光学射线法计算单光线入射的模型^[8]

首先入射光线对小球的元作用力为：

其中，n为介质折射率；为入射激光功率；c为光速；为入射角；为光轴与入射点法线夹角，反射光线对小球的元作用力为：

所有折射光线对小球的元作用力为：

其中，为小球反射率，为小球折射率，所以，小球元面积受此光线总的作用力为：

这也是整个小球受到单根光线的元作用力。不同模式光场中米氏粒子的受力和分析都基于此式。假定入射角,上式简化为

取实部得到散射力在轴的分量为

同理取虚部得到梯度力在轴的分量为

这样，单根光线入射到小球上对小球的作用力可以用式(1.6)~(1.7)的解析表达式来计算，而整个光束可通过计算每根光线对小球的作用力进行积分得到。

在射线模型中，光镊力和激光功率之间的关系如下

其中，n为介质折射率；为入射激光功率；c为光速；Q是一个无量纲的量，是光镊的捕获效率。在此次研究中，对散射力和梯度力在光轴上进行模拟，可以绘制捕获效率的变化曲线，这间接反映了粒子所受力的变化。

1.3.2 瑞利粒子

对瑞利粒子的受力分析采用电偶极子法。设空间直角坐标系的原点为,空间中有一个半径为的介质小球，其介电常数为，折射率为，介质的介电常数为，折射率为，磁导率为，为微粒相对折射率。因为瑞利粒子的直径远小于波长，故可以看成一个偶极子，它的偶极矩为

可根据米氏理论得到微粒所受的散射力为

其中

经过推导与计算，可得到散射力和梯度力的表达式。通过比较梯度力和散射力可知，散射力是正比于的，并且总是沿着光的传播方向。梯度力与成正比，由三个分量组成，光强的梯度越大，粒子所受的梯度力也越大。只要得到光场分布，继而得到光束的光强分布就可以很容易的把散射力和梯度力求出来。

1.3.3 中间粒子

介于米氏粒子和瑞利粒子之间的中间粒子，它的受力分析模型要比前两者复杂得多，只能使用数值方法进行求解，典型的是米氏散射理论法、时域有限差分和T矩阵法，其他还有角谱法和有限元法。这里对T矩阵法和时域有限差分法进行介绍，其他计算分析方法可参考文献^[14]。

时域有限差分法是常用的一种电磁场数值模拟方法，拥有能解决复杂问题的能力，它直接从依赖于时间变量的麦克斯韦旋度方程出发，无需任何导出公式，是一种简单而直观的时域方法。此方法用于光镊研究首先是要解决电磁散射问题，由于不受微粒特性的限制，数值模拟方法比解析形式理论模拟适用的范围更加广泛。利用时域有限差分法模拟辐射力，需要将麦克斯韦旋度方程转化为有限差分格式，就是对相邻位置的场量进行简单运算就可以表达所需的物理量。对微粒所处的空间需进行网格离散化，各个点的场量都是未知的。在模拟散射问题时，由于所取的空间是有限的，根据入射光场参数需要在外添加吸收层，使得有限区域能够模拟开域问题。在离散的空间网格中引入入射场，场量通过差分公式在有限网格上不断迭代演化，最终达到稳定，就可以计算时域稳定的电磁场分布。按最终的电磁场分布计算辐射力。

T矩阵法可以用来计算非球形的微粒，特别是对同种微粒只需要计算一次，便可以用于光散射和光辐射力的重复计算中。很适用于光力的计算。光力捕获或者操纵微粒的原因使微粒对电磁场的动量传递，粒子通过散射改变了光束的动量，所以计算光力和力矩的问题基本上就是计算光散射的问题。通过推导得到与散射光与入射光相关的系数之间的关系表达式，也就是矩阵T。当散射体使有限的，由于矩阵中的元素有很好的收敛性质，特别适合于用计算机进行计算。T矩阵只与微粒的大小、形状和方位以及激光波长有关，与入射场无关，这意味着T矩阵只需要计算一次，可以用于光力和力矩的重复计算中，这便是T矩阵法的优势所在。

1.4 研究内容与章节安排

本文研究分析聚焦贝塞尔高斯光束光场分布特性，应用相关光镊原理以及光场分布知识，进行相关原理分析，总结贝塞尔高斯光束光场分布。掌握几何光学法分析光力的基本原理，进行米氏粒子的受力分析，研究米氏粒子在贝塞尔高斯光场中的运动情况，探究光学系统参数（粒子大小、折射率、阶数）对粒子受力的影响。

目标：推导出米氏粒子在聚焦贝塞尔高斯光场中所受作用力的表达式，总结不同光学系统参数对粒子受力的影响。

技术方案及措施：通过分析贝塞尔高斯光场的分布特性，进行理论模拟，绘制聚焦贝塞尔高斯光束光场分布。进行理论模拟，绘制米氏粒子在聚焦场中的梯度力和散射力变化曲线。利用几何分析法对米氏粒子受力情况进行分析。几何光学法是求解米氏粒子捕获力的主要理论模型，首先求得单光线对微粒的捕获力，然后对受光面上所有光线作用力进行积分求和，最终得到微粒总的捕获力，进而可以研究微粒在光场中的运动情况。

章节安排如下：

第一章是绪论，分为四个部分。首先对此次研究的背景和意义做详细阐述，然后对国内外现状进行分析整理，从光镊理论研究和光镊技术两方面入手，分两条线进行研究。第三小节是对光力分析模型进行简介，在光力分析模型中，射线法是最简单也是最早使用的，它简单直观，而我们此次研究的米氏粒子也是运用几何光学的射线法进行相关计算和推导，至于中间粒子和瑞利粒子的分析模型我们简单进行了解就行，之后，本文的所有研究以及理论都是针对米氏粒子的。最后一小节是研究内容以及本文的章节安排，主要对本文的框架进行简述。

第二章是光镊原理部分，为了了解光镊技术的原理，首先我们要知道光场对物体产生光力的原理，第一节就是从电磁理论和光量子理论两个方向出发解释光压的概念。光镊在捕获粒子时，实际上是把粒子稳定的捕获在一个光阱之中，所谓光阱，是由对称的梯度光场形成的一种能束缚微粒的阱。而在光镊中，要达到将粒子稳定捕获在三维阱之中必须要讨论粒子的受力，小球在被光作用后收到两种力，也就是散射力和梯度力。所以第二章的结构是从光压出发，再到光阱，最后是散射力和梯度力产生的原理。

第三章是对光镊光源进行对比，分析高斯光束以及贝塞尔高斯光束的特性，并在比较中阐述本文研究采用贝塞尔高斯光束的理由。第四章是理论模拟部分，首先绘制单光线入射的粒子所受散射力和梯度力的变化曲线，也就是根据公式（1.6）、（1.7）进行模拟仿真，绘制粒子受力随粒子中心距离焦点距离的变化曲线。然后在这个基础上，对单光线的表达式进行积分，绘制单光束对粒子的作用力变化曲线。最后绘制贝塞尔高斯光束对粒子作用力的变化曲线。利用控制变量法研究光学参数对粒子受力的影响，分析变化特性，得出相关结论。

第五章是总结与展望，总结了整个毕业设计过程中所做的工作和成果，整理研究过程所产生的结论，并且对推导理论和仿真过程中遇到的困难进行总结和反思，对未来的工作进行规划安排。

第2章 光镊的基本原理

本章主要讲述光镊的基本原理，从光压的概念开始，提出光压与物体相互作用时的力的分析，然后对光阱进行介绍，光镊正是通过散射力和梯度力的作用使得微粒能被稳定的捕获在光阱中，而不会逃逸。最后对光镊中粒子所受的梯度力和散射力的原理进行分析，讲述两种力是如何形成的，以及两种力的计算方法，为之后的仿真数据分析奠定理论基础。

2.1 光压的定义

2.1.1 从光的电磁理论出发

光压的概念，字面上来说就是光对物体施加的压力。根据光为何对会物体表面形成压力有两种解释。一种解释是说光与物体相互作用时，它的能量和动量都会发生变化，那根据动量守恒规律，粒子会产生运动速度的改变，也就是受到外力作用；另一种解释是从光的量子性出发。作为电磁学说的开创者，1873年麦克斯韦从光的电磁波理论出发证明了光压的存在，光是电磁波，具有能量也具有动量。我们假设有一种导体材料，当其被平面电磁波垂直照明时，其中电矢量会在导体表面产生电流，电流方向和电矢量一致；入射平面电磁波的磁矢量部分使这电流受到安培力，根据洛伦兹定理判断其方向，得到受力方向和入射光传播方向相同，如此一来，就产生了光对物体的作用力，也就是光压^[17]。

1873年麦克斯韦由光的电磁理论推算出一个重要的结果，平行光落到物体表面上时，物体表面将受到一压力的作用。若全部辐射能全被物体吸收，则光的压强为：

式中，E为体积V中所包含的总辐射能。对于一任意的表面，反射系数为R，投射系数为T,则单位表面面积所受到的压力应为^[18]

上式是称为麦克斯韦-巴托利公式，由意大利物理学家巴托利根据热力学第二定律推导出来。光具有动量，会对物体产生压力。但由于单个光子的能量太小，普通光源的光子密度又很低，所以测量光压非常困难。高亮度和高方向性的激光为光压的应用提供了优质光源。

2.1.2 从光量子理论出发

根据光量子理论，一个光子的动量为

假设一束光照射到一面积元上，而入射光的光强为。那么单位时间通过面积元的光通量是。

设光束总的光子数为N，那么光强可表示为

其中，为在某一介质中传播的光速。如果此表面反射率为R，透射率为T，根据动量定律，在单位时间内光子的动量变化为

其中，n为光束在介质中传播的折射率，c为真空中的光速。根据动量定理，物体动量的变化率等于外力，故小面元受到的光力为

式中R和T根据菲涅尔公式计算，与折射率、入射角和折射角有关。那么在大面积下物体所受光力就是由上式积分得到。又由于力是矢量，计算时要进行矢量叠加。

有了此计算公式，就可以分析和计算光镊对微粒的作用力。本文所研究的散射力和梯度力正是基于此公式来推算的，也正是分析不同微粒在光镊不同光场中受力的基础理论。激光高斯光束经过透镜聚焦后形成的光束对介质球的力包括散射力和梯度力，下面先介绍光学势阱的概念，然后对散射力和梯度力的形成进行分析。

2.2 梯度力光阱

在上节中进行了光压原理的分析，光能对粒子产生压力，但是要理解光镊系统中如何实现对粒子稳定的捕获和操控，我们还需要对光阱有一个深刻的理解。非均匀光场对物体的作用效果是将物体推向光场梯度最大的位置，而对称的梯度光场会形成一种能束缚微粒的阱，这个阱就是我们所说的光阱。依据光阱能够束缚粒子范围的维度，若能在二维区域内束缚粒子，这种光阱就称之为二维光阱，相应的，若能在三维区域内束缚粒子，称之为三维光阱。垂直于光线传播方向的的平面内，二维光学势阱是利用高斯光束的梯度力将微粒束缚在光轴处，由于这个力只限制了垂直于光轴表面内的运动，所以沿着光轴方向小球仍然是一个自由的状态。光阱的实质是势阱，当粒子的动能小于势阱深度时，就会被束缚在光阱中。

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