分数阶蔡氏电路的可控性外文翻译资料
2022-12-17 14:42:39
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毕业设计(设计)
英文文献翻译
Title: Controllability of fractional-order Chuarsquo;s circuit
分数阶蔡氏电路的可控性
Zhang Hao, Chen Di-Yi, Zhou Kun, and Wang Yi-Chen
Department of Electrical Engineering,
College of Water Resources and Architectural Engineering,
Northwest Aamp;F University, Yangling 712100, China
摘要：我们对自然和工程系统的理解的最终证明反映在我们控制它们的能力上。由于分数阶微积分更为普遍，我们将注意力集中在分数阶系统的可控性上。首先，我们将常规可控性定理扩展到分数域。提出了严格的数学分析和证明。由于蔡氏电路是非线性电路的典型代表，我们使用所提出的定理详细研究了分数阶蔡氏电路的可控性。给出了数值模拟和理论分析，最终得出两者相互吻合。
关键词：可控性，蔡氏电路，分数阶电路
1 引言
众所周知，可观察性，可控性和稳定性是大多数研究人员的重要问题。 动态系统的可控性在控制系统的设计和分析中得到了广泛的研究。[1-8]从控制工程的角度来看，如果动态系统可以从任何初始状态到任何需要的状态，它是可控制的。 使用合适的控制器确定最终状态。[9]此外，非线性电路也是一个重要的研究领域。
由于分数导数更普遍，实际系统的分数阶模型通常比科学和工程中通常使用的整数阶模型更加充分。最近，学者们对分数阶微积分的兴趣正处于快速增长的阶段，我们可以在数学、物理、力学、信息工程、电子工程和控制工程中找到许多关于它的理论和应用的论文。[10-17]至于分数或动力系统的可控性，已经有一些已发表的论文。[18-20]尽管这也是一个重要的研究领域，然而据我们所知，我们无法找到这些文献对分数阶电路的可控性的任何贡献。许多先前的研究表明，蔡氏电路是非线性电路的典型代表。[21-33]
在上述讨论的推动下，首先我们将常规可控性定理扩展到分数域，同时给出了严格的数学分析和证明。此外，我们还利用所提出的定理详细研究了分数阶蔡氏电路的可控性。
本文的结构如下。第2节说明了分数阶微积分的基本概念。在第3节中，给出了必要和充分的可控性条件。此外，还详细分析了分数阶蔡氏电路的可控性。第4节中的数值模拟证实了理论分析的正确性。第5节以结论和讨论结束了本文。
2 准备知识
2.1 分数阶微积分的基本概念
研究者关于分数阶微积分提出了人类分数多重定义，包括Riemann-Liouville，Grunwald-Letnikov和Caputo定义。
定义1 函数fnof;()相对于的Riemann-Liouville分数导数由下式给出
（1）
其中是大于的第一个整数，也就是说，Gamma;是Euler的伽马函数，定义为
. （2）
定义2 连续函数fnof;的Caputo分数导数：R →R的定义如下：
（3）
其中是大于的第一个整数。
将式（1）作拉普拉斯变换方程为：
（4）
当,我们得到
.
此外，可加性对于分数计算是有效的，可以描述为
.
2.2 分数电容和电感
Westerlund[34]提出了分数电容器的模型，即
其中是电容，是电压，是分数阶，它是一个常数，取决于电容器的损耗。
同样地，他也将分数阶电感表示为
其中L是电感，m与接近效应有关。
3 蔡氏电路分数阶的可控性
3.1 理论分析
分数阶线性系统通常可以描述为
(5)
其中是Caputo分数导数算子，0 lt;alpha;lt;1;是系统的输入；向量是每个节点的状态; 和矩阵A和B分别是系统矩阵和输入矩阵。
分数阶线性不变系统的可控性矩阵是
我们可以通过控制可靠性矩阵的秩来判断分数阶线性时不变系统的可控性。如果秩= n，则分数阶线性时不变系统是可控的，否则为不可控制。在以下内容中严格要求数学证明。
1)充分性 我们假设最终状态是状态空间的原点，t0 = 0。方程（5）可以通过拉普拉斯变换得到
因此，我们得到
使用拉普拉斯逆变换，我们有
因为系统完全可控，我们有
或
（6）
根据Cayley-Hamilton定理，任何方阵都应该得到它的特征方程。 由于A是ntimes;n方矩阵，我们有
因此，我们得到
从Cayley-Hamilton定理，我们可以得到
（7）
可以组合等式（6）和（7）以得到以下等式：
（8）
令，我们得到
其中是ntimes;1向量,所以我们有
（9）
如果系统是完全可控的，对于任何初始状态X（0），（9）式成立的充分必要条件有一个独特的解决方案，就是是矩阵[B AB A2B ...An-1B]具有满秩，这意味着秩为n。
2)必要性 既然已知条件是系统是完全可控的，我们将证明秩（）= n。在这里，我们将使用矛盾法证明。
首先，我们假设秩（）le; n；也就是说，每一行都是线性相关的。因此，满足，这也就意味着从Cayley-Hamilton理论，我们有因此，我们得到
因此我们有。也就是。因为
是单数，从Gram可控性定理来看，该系统是不可控的。显然，结论与已知条件之间存在矛盾。因此，证明完成了。
根据参考文献[35]和[36]，我们知道卡尔曼等级条件在分数或系统与整数阶系统之间是等价的且可控条件适用于任意顺序。因此，分数阶系统的充分必要可控条件是秩是n（n是矩阵的维数A），即秩（）= n。
3.2 蔡氏电路的可控性
蔡氏电路是一种着名的非线性电路，具有流畅的非线性动态现象。 从图1中，我们可以得到系统方程式
（10）
等式（10）也可以被写为：
（11）
其中存在非线性电阻NR，其电压电流特性为
（12）
图1.（a）分数阶Chua电路图。 （b）NR的电压电流特性。
令
等式（11）和（12）可以被变形为：
（13）
与 （14）
等式（14）可以变换为
(15)
为了简便，我们设那么等式（13）又可被改写为
（16）
其中A，B和C分别是系统矩阵，输入矩阵和常数矩阵。更特别的是，
当时，
当 时，
当 时，
而 保持不变。
因此，从分数线性系统的可控性定理，我们可以得到以下结果。1)当或时，当且仅当时，分数蔡氏电路是可控的，否则蔡氏分数电路是不可控的。
2)当时，当且仅当时,分数蔡氏电路是可控的，否则分数蔡氏电路无法控制。
4 数值模拟
为了验证分数蔡氏电路的可控性,当与时，我们令系统的初始值是（-2,1，-1）。我们将输入设置为5,25和45来研究输入对系统的控制效应。不同控制器的数值模拟如图2所示。
图2（a）-2（c）分别是状态变量X，Y和Z的时间波形。图2（d）是状态变量X，Y和Z的相位轨道。从图2（a）中，我们知道状态变量X可以从初始状态-2驱动到不同的最终状态2，8，和12分别通过改变输入。对于不同的输入，如图2（b）所示，状态变量Y也可以分别从初始状态1驱动到不同的最终状态0.1,0.5和1.1。 类似地，状态变量Z可以分别从初始状态-1驱动到不同的状态-8，-30和-55。 更具体地说，图2（d）显示了在输入的变化下状态变量X，Y和Z的轨迹。
通过以上分析，我们可以通过改变控制器轻松获得不同的最终状态，这完美地说明了分数阶Chua电路系统的可控性。
图2.（在线颜色）系统状态对不同控制器的响应:（a）-（c）状态变量X，Y和Z的时间波形；（d）状态变量X，Y和Z的相位轨道。
5 讨论和结论
在本文中，我们通过严格的数学分析和证明将传统的可控性定理扩展到分数域。 由于蔡氏电路是非线性电路的典型代表，我们使用所提出的定理详细研究了分数阶蔡氏电路的可控性。给出了数值模拟和理论分析，两者相互吻合。
我们已经证明了卡尔曼秩条件在分数阶系统和整数阶系统之间是等价的。另外，可控条件适用于任意顺序，这是研究任意结构的分数阶电路的基础。 将来，我们将研究这个问题，并进一步发展分数阶电路的控制理论。
参考文献
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