Weak signal detection method based on Duffing

oscillator with adjustable frequency

MA SongShan^1*, LU Ming¹, DING JiaFeng¹, HUANG Wei² amp; YUAN Hong^2*

¹School of Physics and Electronics, Central South University, Changsha 410083, China;

²The Third Xiangya Hospital, Central South University, Changsha 410013, China

Received January 10, 2015; accepted March 18, 2015; published online August 17, 2015

Abstract: In this paper, we present a new system of weak signal detection based on Duffing oscillator withadjustable frequency, in which the frequency of periodic driving force signal can be fixed at a certain value and make the system to be in a same critical chaotic state. Therefore, by adjusting an adjustable signal frequency,the detection system we propose can detect signals of different frequencies in the same critical chaotic state, and overcome the limitation of the previous system which can only detect a signal of a specific frequency in a critical chaotic state. Meanwhile, we analyzed its system performance according to simulation and designed the circuit of the system. Based on the results of simulation and actual condition, we find the system is effective for weak signal detection. We can also find that in the proposed system, the signal detection accuracy increases firstly and then decreases with the increase in amplitude of adjustable signal, while the input noise variance is fixed.In addition, in the improved system, the smaller the variance of the input noise is, the higher the detection accuracy is, and the wider the adjustable operating range is.

Keywords: Duffing oscillator, weak signal detection, adjustable frequency, critical chaotic state, noise

Citation Ma S S, Lu M, Ding J F, et al. Weak signal detection method based on Duffing oscillator with adjustable frequency. Sci China Inf Sci, 2015, 58: 102401(9), doi: 10.1007/s11432-015-5344-4

1 Introduction

Quickly detecting the emergence of signals in noisy background is widely used in many applications:

radar, sonar, and wireless communications [1–5]. In these cases, the emergence of signal is always abrupt,and the signal is weak. However, the capability of conventional detection method such as power spectral density (PSD)is limited due to the weak signal being buried in the noise [6]. The method of fast Fourier transform (FFT) can improve the detection ability of weak signals, but the frequency resolution is so low that the frequency of the to-be-detected weak signal cannot be decided accurately [7]. In recent years, the weak signal detection using Duffing oscillators has caused wide public concern in the field of weak signal detection due to its low detection signal-to-noise ratios (SNR) and sensitivity to certain periodic signal [8–11]. For example, Rashtchi et al. [12,13] introduced a novel method for detecting the state of the Duffing oscillator, which deeply affects the accuracy of its application. Fan et al. [14] found that the threshold value of Duffing oscillator was affected by sharp change ability of phase diagrammaintenance zone of chaos and the sufferance with noise of the chaos critical point. The study ofWang et al. [15] showed that the existing transition process affects the detection capability, and then they presented an improved method which improves the detection capability greatly. Nie et al. [16] introduced a new method of weak signal detection based on combining cross-correlation function with chaos theory. Beltran et al. [17] delt with the multi-frequency harmonic vibration suppression problem in forced Duffing mechanical systems using passive and active linear mass-spring-damper dynamic vibration absorbers. However, in these studies, the frequency of the to-be-detected signal is always assumed to be known and the effect of the periodic driving force signalrsquo;s frequency of the Duffing oscillators systems on the chaos threshold is ignored. In fact, the chaos threshold of the Duffing oscillators systems is changed with the periodic driving force signalrsquo;s frequency of the system. Meanwhile, in the detection process, we should make sure that the frequency of the to-be-detected signal is tend to equalize the frequency of the periodic driving force signal. Therefore, in the aforementioned studies, the detection system can only detect the signal of a specific frequency in a critical chaotic state, that is, the aforementioned detection systems cannot detect signals of different frequency in the same critical chaotic state.

In this paper, we present a new system of weak signal detection based on Duffing oscillator with adjustable frequency, analyze its system performance according to simulation, and design the circuit of the system. The proposed method can not only detect the weak signals accurately under the background of white noise, but also overcome the various shortages of weak signal frequency detection methods mentioned above.

2 Theoretical model

2.1 Influence of frequency on conventional Duffing oscillator detection system

The most common form of the real Duffing equation is

（1）

where k is the damping ratio, (-x3 x5) plays the role of nonlinear elastic restitution, is the periodic driving force signal, is the to-be-detected signal, is background noise.

Before putting the to-be-detected signal into the system, we must adjust the system to the critical

state which is transited from the chaotic state which is transited from the chaotic state to the large-scale periodic state. As we know, the chaos threshold for different control signals is [18]

（2）

According to (2), we can get the chaos thresholds of different frequency omega;1 , as shown in Figure 1. We can find that the chaos thresholds decrease firstly and

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基于Duffing的振荡器的频率可调的

弱信号检测方法

马松山1*，陆明1，丁家富1，黄维新，袁宏远*。

1 .中南大学物理与电子学院，长沙410083;

2 .第三届湘雅医院，中南大学，长沙410013。

2015年1月10日收到;2015年3月18日接受;2015年8月17日出版

摘要:本文提出了一种基于可调频率的杜夫振荡器的弱信号检测新系统，该系统的周期驱动信号的频率可以固定在一定的值上，使系统处于同样的临界混沌状态。因此，通过调节可调信号频率，我们提出的检测系统可以在相同的临界混沌状态下检测不同频率的信号，克服了前一个系统在临界混沌状态下只能检测到特定频率信号的局限性。同时，对系统的性能进行了仿真分析，设计了系统的电路。根据仿真结果和实际情况，发现该系统对微弱信号检测是有效的。我们还可以发现，在所提出的系统中，信号检测精度随着可调信号幅度的增加而增加，而输入噪声的方差是固定的。此外，在改进的系统中，输入噪声的方差越小，检测精度越高，可调的工作范围越宽。

关键词:杜芬振荡器，微弱信号检测，可调频率，临界混沌状态，噪声。

1介绍

在噪声背景下快速检测信号的出现，在许多应用中得到了广泛的应用。雷达、声纳和无线通信[1-5]。在这种情况下，信号的出现总是很突然的，信号很弱。然而，传统检测方法如功率谱密度(PSD)的能力有限，因为在噪声中被埋入的微弱信号[6]。快速傅里叶变换(FFT)的方法可以提高微弱信号的检测能力，但频率分辨率非常低，不能准确地确定待检测微弱信号的频率[7]。近年来，由于低检测信噪比(信噪比)和对某些周期信号的敏感性，在弱信号检测领域中，使用杜夫振荡器的微弱信号检测已经引起了广泛的关注。例如，Rashtchi等[12,13]提出了一种检测杜芬振荡器状态的新方法，它严重影响了其应用的准确性。Fan等[14]发现，杜芬振荡器的阈值受到混沌的相位图维维护带的急剧变化能力和混沌临界点噪声的影响。wang等[15]的研究表明，现有的过渡过程影响检测能力，并提出了一种改进的方法，大大提高了检测能力。Nie等[16]提出了一种基于交叉相关函数与混沌理论相结合的弱信号检测新方法。Beltran et al. [17] delt利用被动和主动线性质量弹簧阻尼器动态减振器，在强迫杜夫机械系统中采用多频谐波振动抑制问题。然而，在这些研究中，被测信号的频率总是被假定为已知的，并且在混沌阈值上忽略了周期驱动力信号的频率对混沌阈值的影响。事实上，随着周期驱动力信号的频率的变化，杜夫振荡系统的混沌阈值也随之改变。与此同时，在检测过程中，我们要确保待测信号的频率趋向于将周期驱动信号的频率相等。因此，在上述研究中，检测系统只能在临界混沌状态下检测到特定频率的信号，即上述检测系统无法检测到同一临界混沌状态下不同频率的信号。

本文提出了一种基于可调频率的杜芬振荡器的弱信号检测新系统，并对其系统性能进行了仿真分析，并设计了该系统的电路。该方法不仅能在白噪声背景下准确地检测弱信号，而且克服了上述微弱信号频率检测方法的各种不足。

2理论模型

2.1频率对传统杜芬振荡器检测系统的影响

真正的杜芬方程最常见的形式是

（1）

其中k为阻尼比，(-x3 x5)为非线性弹性恢复的作用，为周期驱动力信号，为待测信号，为背景噪声。

在将检测到的信号放入系统之前，我们必须将系统调整到关键。

从混沌状态过渡到大规模周期状态的状态。我们知道，不同控制信号的混沌阈值为[18]

(2)

根据(2),我们可以得到不同频率omega;1的混沌阈值,如图1所示。首先我们可以发现混沌阈值降低,然后增加频率的增加omega;1周期驱动力的信号。因此,为了检测微弱信号,我们应该找到混沌阈值的检测系统,这是由频率决定的omega;1周期驱动力的信号。

另一方面，待测信号频率应满足以下要求[19]

（3）

在Delta;omega;= |omega;1-omega;2 |角频率区别是周期性驱动力和检测信号。研究表明，混沌和周期运动之间的边界是明显的，且容易识别。然而，当Delta;omega;gt; 0.03 rad/s时，边界是模糊的，难以识别。因此，间歇性的混沌运动是有限的，我们必须确保Delta;omega;小于0.03 rad/s。所以检测过程是:首先，我们必须估计检测到的信号的频率范围，并确保周期驱动信号的频率范围在估计范围内。同时，我们还需要确保系统的相位轨迹处于混沌临界状态。然后我们可以将信号输入到系统中，在系统过渡到周期状态时，可以检测到输入信号中包含的有用弱信号。在检测过程中，我们必须先获得检测到的微弱信号的先验知识，在输入信号到系统之前，每一次调整混沌阈值，大大降低了系统的检测效率。

周期性驱动力信号的频率(rad/s)

图1不同频率的周期性驱动力信号的混沌阈值

2.2新型杜芬振荡器检测系统的可调频率

基于自振振荡器的理论，我们可以发现待测信号的频率应接近周期驱动信号的频率[20-22]。然而，很难得到待测信号频率的精确值。如果我们不能得到被检测信号频率的值，我们就不能保证系统在临界混沌状态下运行。因此，为了消除频率限制，我们提出了一种基于杜芬振荡器的新型弱信号检测系统。系统可以表示为。

（4）

其中为可调信号。在基于杜芬振荡器的弱信号检测方法中，杜芬振荡器应满足以下条件:

(1)确定系统的相位轨迹处于混沌临界状态，周期驱动力信号的振幅比检测信号的振幅大得多。这是r1 gt;gt; r2。

(2)检测系统不能受到白噪声的影响。

(3)待测信号的频率应与周期驱动信号的频率相接近，这就意味着lt; 0.03 rad/s。

鉴于此条件(1)和(2)是Duffing混沌振荡检测系统的特点[14]，我们不再讨论它。在本文中，我们更关注的是我们提出的新方法，即杜芬振荡器的频率可调，满足条件(3)。为了简化研究，我们忽略了待测信号相位的影响，即在(4)中，待测信号的相位在= 0处固定。该方法的输入信号如下所示:

(5)

从(5),我们可以把输入信号分成三个部分,R1 = 0.5 r2r3 cos(omega;3-omega;2),R2 = 0.5 r2r3 cos(omega;3 omega;2),和R3 = R3 cos(omega;3Ƭ)n(Ƭ)。

当我们把检测信号的系统,我们可以保证的价值omega;3minus;omega;2或omega;3 omega;2等于omega;1通过调整omega;3,这意味着R1和R2的频率等于omega;1周期性驱动力的频率信号。当R1的频率等于omega;1,很明显,R2和R3的频率与omega;1不同,所以杜芬振荡器检测系统灵敏度R1和R2和R3免疫力。同样地,当R2的频率等于omega;1,R2和免疫系统有敏感度R1、R3。因此,在我们提出的方法、条件(3)可以通过调整频率omega;3。

图2基于杜芬振荡器可调频率的弱信号检测模型

根据(2),我们可以发现混沌阈值改变omega;1的价值。然后在检测过程中,当周期性驱动力的频率信号omega;1固定在一个合适的值,确保了系统运行的关键的混乱状态,我们可以进行弱信号检测通过调整omega;3的价值。因此,在改进的检测方法,我们只需要调整omega;3的价值,不需要改变omega;1的价值,所以我们成功地消除了频率极限。当然，检测方法也有一定的局限性。事实上，通过观察系统相位状态的变化，我们可以确定系统是否已经完成了微弱信号的检测。然而，系统相态变化的临界点并不容易确定，也就是说，当系统从混沌状态到大周期状态时，要准确地获得时间点是不容易的。同时，在检测过程中，我们必须一步一步地调整可调信号的频率，使其满足可调信号与待测信号的频率差等于周期驱动信号频率的条件。

2.3弱信号检测仿真模型

根据(4)，我们利用Matlab/Simulink软件构建仿真模型，如图2所示。参数选为k = 0.5,omega;1 = 1 rad / s,Delta;t = 0.01 s,[ẋ(0)(0)x)=(0,0),和four-stepsfixed步龙格-库塔算法。在仿真过程中，我们设置了一个随机的种子编号[13]，这使得驱动的噪声与下一个模拟不同。本文总结了杜芬振荡器弱信号检测过程的过程。

(1)调整参数r1，以确保系统运行在临界混沌状态，如图3(a)所示。

(2)输入信号r2 cos(omega;2Ƭ) n(Ƭ),需要检测到系统中,并调整omega;3,使其满足的条件(omega;3minus;omega;2)minus;omega;1 lt; 0.03 rad / s或(omega;3 omega;2)minus;omega;1 lt; 0.03 rad / s。

(3)当系统状态跳跃到周期状态时，测量振幅值r_d，如图3(b)所示。

(4)减小r3的值，使系统再次回到混沌状态，并测量系统的振幅值r 1，然后我们可以通过方程r2 = 2(r_d-rrsquo;1 )/r3得到信号的幅值。

图3基于杜芬振荡器的弱信号检测系统相图 (a)临界混沌状态;(b)期刊状态

3性能分析

为了研究新方法的性能，在本节中，我们通过模拟实验来更加关注系统的影响因素。在模拟实验中,我们设置omega;1 = 1 rad / s,r1 = 0.7256 V。根据(2)，我们可以发现基于(4)的系统处于混沌临界状态。然后我们向系统输入信号,输入信号的参数选为omega;2 = 0.3 rad / s,omega;3 = 1.3 rad / s。

3.1可调信号幅度的影响。

在图4中，我们研究了可调信号幅度对系统性能的影响。从图4可以看出，虽然输入噪声方差是固定的，但信号检测精度先增加，然后随着可调信号幅度的增大而减小。例如,在图4(a),输入噪声的方差是固定在1times;10minus;3,估计最低检测振幅是9times;10minus;3 V时的振幅可调信号r3 = 1 V。可调信号的振幅的增加r3,估计最低检测振幅降低到3times;10minus;3 V r3 = 8。然而，当可调信号的幅度，r3，继续增加时，估计最小检测幅度又增加了。在图4(b)和(c),输入噪声方差是固定在1times;10minus;4和1times;10minus;5分别也有相同的特点,即信号检测精度提高首先然后随可调信号的振幅的增加而减小。因此，我们应该在检测过程中选择最合适的r3值。

3.2噪声的影响

同时，从图4可以看出，系统输入噪声方差越小，检测准确率越高。例如,在图4(a)-(c),输入噪声方差是固定在1times;10^minus;3 1times;10^minus;4和1times;10^minus;5分别估计最低最低检测振幅是3times;10^minus;3,3.8times;10^minus;4和5times;10^minus;6 V分别。此外，我们还可以发现输入噪声方差对r3的可调范围有很大的影响。在表1中，我们进一步说明了输入噪声方差与信噪比之间的关系。我们都知道,噪声总是10倍比被检测到信号弱信号检测,这就需要将信噪比低于minus;10 dB。因此,我们可以发现,当输入噪声方差固定在1times;10^minus;3,r3的振幅可调范围1 - 20 V。然而,当输入噪声方差固定在1times;10^minus;5,r3的振幅可调范围的1-60 V。我们可以推断，系统输入噪声方差越小，可调的工作范围越大。同时，当输入噪声方差不变时，信噪比随r3的振幅变化。因此，为了获得更好的检测结果，我们应该为r3选择最合适的值。例如，当输入噪声方差固定在1times;10^minus;3时，信噪比在r3 = 8v时达到23.5 dB，也就是说，可调信号最合适的振幅是r3 = 8 V。

图4不同幅度可调信号的最小检测幅度 (a)输入噪声方差是固定在1times;10^minus;3;(b)输入噪声方差固定在1times;10^-4;(c)输入噪声方差固定在1times;10^minus;5

4检测电路设计

为了设计杜芬振子系统的电路，我们可以重写(4)如下[8]，

（6）

其中V1表示输入信号，已完成频率转换。因此，如图5所示，我们设计了基于(6)的检测系统电路，并得到了该方程。

（7）

U2代表位移，U6表示速度，U3和U5表示位移，U4和U1表示速度，U2是添加设备，用于将检测到的信号输入系统，也可以获得电路中元件的其他参数。

根据(6)和(7)，我们假设R1 = R2 = R3 = R5 = 10k, R4 = 20k, R6 = R9 = 20k，

C1 = C2 = 1mu;F R7 R11 = = R8 = R10 = 10 k,然后建立真正的电路如图6所示(b)。在构建实际电路的过程中，我们选择了具有较高的开环增益和较低的输入偏移量的集成运算放大器来减少计算误差和积分漂移，并利用旁路电容来提高系统的稳定性，减少功率电磁和噪声的影响。在将待测信号输入系统之前，我们可以发现系统的轨迹处于混沌状态，如图6(b)所示，从振荡器的显示中得到。然而，当检测到的信号输入到系统中时，如图6(c)所示，系统的轨迹变为周期性状态。实际测试结果表明，该系统对弱信号的输入是敏感的，这意味着它适用于弱信号检测。

图5杜芬振荡器检测电路

5结论

为了消除频率限制，提出了一种基于可调频率的杜芬振荡器的弱信号检测系统的新方法，并设计了该系统的电路。在所提出的系统中，对于不同的待测信号，我们不需要改变周期驱动力信号的频率，它决定临界混沌状态的阈值，并通过调节可调信号的频率来进行

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