摘 要

本文借助数学软件MATLAB强大的绘图功能，首先针对周期光栅进行仿真模拟，再设计一种基于Thue-Morse序列的准周期光栅，观察两种光栅的衍射光强分布图，对两种情况进行了比较，对比分析其衍射特性，所得结果对于实际制造出这种结构的光栅具有重要的指导意义。

论文主要研究分析了基于Thue-Morse序列的平面准周期光栅的衍射特性，即自相似性，同时也研究了基于Thue-Morse序列的环形准周期光栅，通过观察衍射光强分布曲线，发现其衍射特性。

本文的特色在于：Thue-Morse准周期结构由于其具有自相似性的特性，其准周期结构的潜在应用领域也非常宽。本文将之用于光栅，使Thue-Morse序列的自相似性在衍射谱中表露无遗。

关键词：准周期光栅；Thue-Morse序列；衍射特性；自相似性

Abstract

In this paper, we use the powerful drawing function of mathematical software MATLAB, first for the simulation of the periodic grating, and then design a quasi-periodic grating based on the Thue-Morse sequence to observe and compare the two grating diffraction light intensity distribution map. The results getting by comparing its diffraction characteristics has important guiding significance for the actual manufacture of this structure of the grating.

In this paper, we study the diffraction properties of flat quasi-periodic gratings based on the Thue-Morse sequence, that is, the self-similarity. By the time, we also study the ring quasi-periodic gratings based on the Thue-Morse sequence. By observing the diffracting intensity distribution curve, we can get its characteristics.

The characteristics of this paper are: owing to the self-similarity of the Thue-Morse quasi-periodic structure, some performance of its quasi-periodic structure can be applied to particularly areas. In this paper, we apply it to gratings, and the self-similarity of the Thue-Morse sequence is revealed in the diffraction spectrum.

Key Words：Quasi-periodic grating; The Thue-Morse sequence; Diffraction characteristics; Self-similarity

目 录

第1章 绪论 1

1.1 惠更斯-菲涅耳原理 2

1.2 菲涅耳-基尔霍夫公式 2

1.3 菲涅耳衍射 3

1.4 夫琅禾费衍射 3

1.5 Thue-Morse序列 4

1.6 论文主要内容 4

第2章 周期线光栅 5

2.1 引言 5

2.2 理论分析 5

2.2.1 单缝夫琅禾费衍射 6

2.2.2 缝光栅衍射 6

2.3 数值模拟 7

2.4 结论 8

2.4.1 主极大 8

2.4.2 极小 8

第3章 Thue-Morse序列准周期线光栅 9

3.1 引言 9

3.2 理论分析 9

3.2.1 矩孔夫琅禾费衍射 9

3.2.2 单缝夫琅禾费衍射 10

3.2.3 Thue-Morse序列准周期光栅衍射 10

3.3 数值模拟 11

3.3.1 序列六代以前相加的Thue-Morse光栅 12

3.3.2 第六、七、八代Thue-Morse序列准周期光栅 12

3.4 结论 14

第4章 环形周期光栅 16

4.1 引言 16

4.2 理论分析 16

4.2.1 圆孔夫琅禾费衍射 16

4.2.2 环形光栅衍射 17

4.3 数值模拟 18

4.4 结论 19

第5章 Thue-Morse序列准周期环形光栅 20

5.1 引言 20

5.2 理论分析 20

5.3 数值模拟 21

5.4 结论 22

第6章 总结 23

参考文献 24

致 谢 26

第1章 绪论

在波的传播过程中，类似于光的干涉，衍射也是一种基本现象。当光束通过一个狭缝时，它便因为有一定水平的扩展从而进入缝的几何阴影之内，这就是一个最简单的光的衍射实例。所谓衍射，就是光束在通过细棒等一定的障碍物时，光的直线传播定律失效，从而让障碍物几何投影的边沿模糊不清，乃至呈现出明暗相间的彩色条纹，这便是衍射现象，也被称作绕射现象^[1]。

单个孔或棒（屏）能引起衍射，多个孔或多个屏同样也能引起衍射。普遍地有，以任何形式改变光波波面上的振幅分布或位相分布，都会引起衍射。光的衍射现象中的三项基本要素分别是光源发射的光波、衍射物以及观察屏。其中，光波的性质可以由光波的波长组成、复振幅分布及波面形状等参量定量描述；衍射物的性质可以由衍射屏的复振幅透射系数分布或复振幅透过率来描述；而观察屏一般用光电场的复振幅分布或辐照度分布来描述。在研究衍射问题时，原则上是要在这三项要素之间建立起定量关系，使得在知道其中任两项的情况下，能够得到第三项。在光的衍射的定量分析中，想要得到衍射的严格解是非常困难的，因此，在大多数确保有实际意义的情况下，经常运用近似法来分析理解光的衍射问题。基尔霍夫在惠更斯-菲涅耳衍射理论的基础上作了更进一步的两种近似，即菲涅耳近似和夫琅禾费近似，它们各自得到的衍射称为菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射^[1~3]。

衍射光栅作为一种有着高分辨本领的精密的光学元件，它是以许多等间距等宽度的狭缝为单元组成的，它具有周期性重复排列的结构，是可以对入射光波的振幅或位相，或者对二者一起施加周期性空间调制的一种衍射屏。衍射光栅作为光学仪器或者光学信息处理系统中经常用到的重要光学元件，最开始主要应用于频谱分析，之后由于其具有色散、偏振、分束以及相位匹配等特性，光栅在光学信息处理、非线性光学、光学编码、全息照相、光纤通信及原子光学等光学领域得到了广泛的应用，同时也被用于化学、医学、凝聚态等非光学领域^[4]。以光谱仪为例，衍射光栅的分辨本领远高于棱镜，而且由于如今光栅复制和刻制技术的不断发展，以光栅作为色散元件的光谱仪得到更为广泛的应用^[1]。

对于衍射光栅的分类可以从各种不同的角度。按照对入射波的调制的实现环境是二维空间还是三维空间，可以将衍射光栅分为“二维光栅”和“三维光栅”。二维光栅的工作表面可以是凹球面的曲面形状的，即凹面光栅，也可以是平面状的，即平面光栅，而且三维光栅又称“体积光栅”。按照光栅所调制的是入射波的位相还是振幅，可以将衍射光栅分为“振幅光栅”和“位相光栅”。在透明基底上刻画很多透光与不透光相间的平行线条，就可以获得“一维振幅光栅”，而细密的金属丝网格能够看成是“二维振幅光栅”，对于三维光栅来说，其对入射光必然是作位相调制，因而它是一种位相光栅。依据所研究的入射波和干涉场所在的空间处于光栅的同侧还是异侧，可以分为“反射光栅”和“透射光栅”。除此之外，光栅还可以按照其工作波段、制作方法及光栅材料等来进行分类。例如由制作方法有“（模压）复制光栅”、“（机械）刻线光栅”、“全息光栅”等，由工作波段有“紫外光栅”、 “红外光栅”等，由材料有“金属光栅”、“石英光栅”等^[1]。

1.1 惠更斯-菲涅耳原理

1690年，惠更斯在《论光》中提出假设：“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，而且有，“后一时刻的波前位置是所有这些子波波前的包络面” ^[1]。这就是最初的“惠更斯假设”。在这儿，“波前”可以看作成光源在某时刻发出的光波而形成的波面，也就是等相面；“次级扰动中心”相当于是一个点光源，也即“子波源”。惠更斯假设能够对衍射问题做个定性的理解，但是对于稍微复杂一点波面的传播，想要定量分析衍射问题时，它就无能为力了。故此，菲涅耳在此基础上做了一定的修改和重要的补充，从而提出了“惠更斯-菲涅耳原理”——“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何一地点的光振动，就是所有这些子波叠加的结果”^[1]。故此，惠更斯-菲涅耳原理实际上是认为，惠更斯子波是频率或波长相同的相干子波，并且这些相干子波的传播服从光干涉叠加的原理。

1.2 菲涅耳-基尔霍夫公式

1882年，基尔霍夫根据亥姆赫兹方程建立了一个公式，从而可以将空间任意一点的电磁场用包围该店的任意封闭曲面上的电磁场及其倒数求出，公式形式如下：