摘 要

本文借助计算机MATLAB软件对斐波那契Fibonacci序列准周期光栅和环形Fibonacci序列准周期光栅的衍射给出具体数值进行模拟，并对在两种情况下仿真得出的衍射光强分布图进行了分析，所得结果对于准周期光栅的研究具有重要的指导意义。

论文主要研究了Fibonacci序列准周期光栅和环形Fibonacci序列准周期光栅衍射的衍射特性即光强的分布情况。

研究结果表明：Fibonacci序列准周期光栅衍射和环形Fibonacci序列准周期光栅衍射在观察面上的光强集中分布在中心，两边的光强呈对称分布，且随着Fibonacci序列的序列代数的增加，观察面上光强的极大值集中向中心靠拢，两边衍射光的衍射级数在逐渐减少。

本文的特色在于：把数学在Fibonacci序列的研究成果灵活使用在物理上，实现多个学科的结合，同时运用MATLAB软件对各个光栅的衍射进行仿真，得到相应的光栅衍射的衍射光强分布图，对Fibonacci序列准周期光栅的衍射特性的进行分析。

关键词：Fibonacci序列；准周期；光栅；衍射；MATLAB软件

Abstract

In this paper, the diffraction of the Fibonacci sequence quasi-periodic grating and the ring Fibonacci sequence quasi-periodic grating is simulated by means of computer MATLAB software. The diffraction pattern of the diffracted light intensity obtained from the two cases is analyzed. The results obtained for the quasi-periodic grating research has important guiding significance.

In this paper, the diffraction properties of the diffraction of the Fibonacci sequence quasi-periodic grating and the ring Fibonacci order quasi-periodic grating are studied.

The results show that the intensity distributions of the quasi-periodic grating diffraction and the circular Fibonacci order quasi-periodic grating diffraction of the Fibonacci order are concentrated in the center and the light intensity on both sides is symmetrically distributed. With the increase of the sequence algebra of the Fibonacci sequence, the maximum value of the light intensity on the surface is closer to the center, and the diffraction order of the diffracted light on both sides is decreasing.

The characteristics of this paper are as follows: the mathematical research results of Fibonacci sequence are used in physics, and the combination of multiple disciplines is realized. At the same time, the diffraction pattern is simulated by MATLAB software, and the diffraction pattern of the corresponding pattern is obtained. Analysis of Diffraction Properties of Periodic Gratings.

Key Words：Fibonacci sequence; Guasi-periodic; Grating; Diffraction; MATLAB software

目 录

第1章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 论文主要内容 1

第2章 光的衍射 3

2.1 光的衍射现象 3

2.2 光的衍射基本理论 3

2.2.1 衍射的分类 3

2.2.2 夫琅禾费衍射理论 3

2.2.3 具体的夫琅禾费衍射装置 5

第3章 Fibonacci序列准周期结构 11

3.1 Fibonacci序列 11

3.2 Fibonacci序列准周期光栅及其衍射规律 12

3.3 环形Fibonacci序列准周期光栅及其衍射规律 13

第4章 仿真与分析 15

4.1 软件介绍 15

4.2 在MATLAB编程用到函数 15

4.3 仿真结果的分析 16

4.3.1 周期光栅的夫琅禾费衍射的仿真结果分析 16

4.3.2 Fibonacci序列准周期光栅的夫琅禾费衍射的仿真结果分析 17

4.3.3 环形周期光栅夫琅禾费衍射的仿真结果分析 20

4.3.4 环形Fibonacci序列准周期光栅的夫琅禾费衍射的仿真结果分析 21

第5章 结论 24

参考文献 25

附 录 26

致 谢 28

第1章 绪论

光栅也称衍射光栅，由密集的等距平行线组成，将射到光栅上的光束因波长的不同进行色散﹐再经成像镜聚焦而形成光谱，是一种具有高分辨率本领的精密光学元件。在仪器光谱领域中得到广泛运用，一般常用的光栅是在玻璃片上刻出大量的平衡刻痕组成，刻痕为不透光部分，两刻痕之间光滑部分相当于狭缝，是透光部分^[1]。本文研究的光栅为透光光栅，我们最常见的衍射有夫琅禾费衍射和菲涅耳衍射，两者的区别在于前者是远场衍射，后者是近场衍射，本文研究的光栅衍射都是基于夫琅禾费多缝衍射效应工作的。

1.1 引言

斐波那契(Fibonacci)结构是属于介于周期与无序之间的准周期结构。与周期性结构相比较，准周期结构在设计过程中可调节的参数更多，而周期结构光子晶体的许多性质，在准周期结构中也可以实现^[2]。因此可以利用准周期结构实现周期性结构的性质。所以对准周期光栅的研究很有必要。Fibonacci准周期结构是准周期结构典型的代表^[3]。它相对于其它准周期结构的研究相对要成熟些，运用也较为广泛。Fibonacci准周期超结构的光纤光栅，所制备的光纤器件有诸多优点，如插入损耗低、可重复制备和易于集成等^[4]。Fibonacci准周期结构与相对应的周期结构相比具有更多的调控其光学性质的结构参数，因而更具有实际应用价值^[5]。环形Fibonacci序列准周期光栅把环形光栅和Fibonacci序列准周期结构结合起来，目前，对Fibonacci序列准周期光栅的研究都在其频谱的自相似结构方面^[6]，对环形Fibonacci序列准周期光栅在国内外研究都较少，对环形Fibonacci序列准周期光栅的应用也较少，本次研究主要探索环形Fibonacci序列准周期光栅衍射谱光强的分布规律及其与Fibonacci序列准周期光栅衍射谱光强的关系。虽然有研究人员对Fibonacci序列准周期光栅进行过研究，但是目前没有发现对环形Fibonacci序列准周期光栅进行研究的课题或项目，在未被探索的课题上研究更有意义。

1.2 论文主要内容

本文主要研究的是本次研究主要探索环形Fibonacci序列准周期光栅衍射谱光强的分布规律及其与Fibonacci序列准周期光栅衍射谱光强的关系，本文研究的衍射都是夫琅禾费衍射，在基本的夫琅禾费衍射的基础上分析光栅衍射的基本理论，结合Fibonacci序列准周期的性质，分析Fibonacci序列准周期光栅的衍射理论，并对衍射的结果进行理论分析，预测仿真的结果，光栅的夫琅禾费衍射是入射光波经过光栅，然后经透镜聚焦在观察屏上成像，成像的过程是一个傅里叶变换的过程，傅里叶变换是将一个图像从空间域变成频率域的过程，可以用傅里叶变换分析方法分析光栅的衍射问题，所以本文根据成像的原理用衍射公式进行编程，给出具体数值用MATLAB 软件运行程序对光栅衍射进行仿真，得到一个光栅衍射的光强分布图^[7]，对得到的光强分布图进行分析，研究的过程是先对周期光栅的光栅衍射进行仿真，在周期光栅衍射的仿真得到仿真结果的基础上，对Fibonacci序列准周期光栅的光栅衍射进行仿真，分析各光栅衍射的衍射特性。分析完周期光栅和Fibonacci序列准周期光栅的光栅衍射特性之后，对环形光栅的光栅衍射进行分析，环形光栅的衍射和周期光栅的衍射有许多共同之处，唯一区别在于环形光栅的透光部分是圆环，所以其进行傅里叶变换时的光透过率与环形光栅的光透过率是不一致，对环形光栅的光栅衍射进行理论分析要从圆孔的夫琅禾费衍射开始，在圆孔的夫琅禾费衍射的基础上分析光栅衍射，分析了环形光栅的衍射理论后可结合Fibonacci序列准周期的性质，分析环形Fibonacci序列准周期光栅的衍射理论，对各光栅的衍射理论有基本了解，对环形光栅和环形Fibonacci序列准周期光栅的衍射进行仿真，分析得到的衍射光强分布图。结合仿真结果可以得到一些规律。

第2章 光的衍射

2.1 光的衍射现象

17世纪50年代，意大利学者格里马第首次注意到衍射现象，他发现光经过细棒等物体时，偏离了直线传播的规律，在阴影边界附近形成了亮暗相间的条纹或彩色的条纹，光波在空间传播遇到障碍时，其传播方向会偏离直线传播，湾入到障碍物的几何阴影中，并呈光强的不均匀分布的想象就是光的衍射现象^[8]。具体的说光波在传播的过程中，由于受到空间调制时所发生所偏离直线传播的现象，总的来说就是不能用反射给予解释的光偏离直线的传播现象，衍射是光线传播的过程中常发生的现象。生活中常见例如蝴蝶翅膀上有周期衍射结构，阳光下五彩缤纷的肥皂泡，当用一束强光照明小孔，狭缝 ，直边等障碍物时，在足够远的屏幕上都会出现不同的衍射图样。

2.2 光的衍射基本理论

光学薄膜特性的计算方法有递推法、菲涅耳系数矩阵法、矢量作图法等等，还可以利用膜系传递矩阵、干涉矩阵进行分析和计算。其中，菲涅耳系数矩阵法是计算多层膜系分光特性的较为直截的方法，在该方法中用一个二阶矩阵表示出在入射介质中的正向光波的电矢量与反向光波的电矢量的算法表达式，这正是用来计算膜系反射率与透射率所需的量。因此在本节中将对菲涅耳系数矩阵法做详细推导。

2.2.1 衍射的分类

衍射的三要素有光源，衍射物，接收屏，根据衍射光源，衍射物，光屏三个之间的距离关系衍射可有以下分类，衍射的分类：（1）菲涅耳衍射，菲涅耳衍射是近场衍射，所谓的近场衍射就是光源，衍射屏，观察屏有两者之间的距离是有限远。（2）夫琅禾费衍射，夫琅禾费衍射是远场衍射，所谓的远场衍射就是光源离衍射屏无限远，衍射屏离观察屏也是无限远^[9]。

2.2.2 夫琅禾费衍射理论

本文主要研究的都是夫琅禾费衍射，对菲涅耳衍射就不做过多研究，对于以下研究的所有夫琅禾费衍射，都可以利用傅里变换分析方法分析光栅的衍射特性，分析的过程如下所示：

如图2.1所示是一个二维的夫琅禾费衍射衍射的示意图，根据菲涅耳-基尔霍夫衍射公式，在夫琅禾费衍射的近似下^[10]，其衍射公式如下：