论文总字数：20880字

摘 要

本文借助matlab软件对高斯光束经过透镜聚焦后的场进行了仿真模拟及数值计算。分别使用了ABCD传输矩阵及Richards-Wolf矢量衍射理论，改变透镜的焦距，即在不同的数值孔径（NA）情况下，计算了焦平面及轴向平面的能流密度；聚焦后光斑的位置及光斑的横向和纵向半径。并对两种理论所得结果进行了比较分析，所得结果对于不同的应用场景使用哪种方法计算高斯光束经过透镜聚焦后的场具有重要的指导意义。

论文主要研究了使用ABCD定理和矢量衍射理论计算高斯光束经过透镜聚焦后的场分布时，在低数值孔径和高数值孔径情况下的差异。

研究结果表明：在低数值孔径情况下，使用ABCD法定理计算光斑尺寸具有一定的精确度，且较为简便；在高数值孔径情况下，使用ABCD法定理计算光斑尺寸会出现较大误差，宜选择矢量衍射积分。

关键词：高斯光束；ABCD矩阵；矢量衍射理论；紧聚焦

Abstract

In this paper, the simulation and numerical calculation of the Gaussian beam field after focusing through the lens are carried out, with the help of MATLAB software. The ABCD transfer matrix and Richards-Wolf vector diffraction theory are used to ,under different numerical aperture conditions, calculate the energy flow density of the focal plane and the axial plane, the position of the focal spot and the transverse and longitudinal radius of the spot are calculated. The results of the two theories are compared and analyzed. The results have important guiding significance for different application scenarios, which method is used to calculate the field of Gaussian beam after focusing through the lens.

In this paper, we mainly study the difference between low numerical aperture and high numerical aperture(tight focus) when we use ABCD theorem and vector diffraction theory to calculate the field distribution of Gaussian beam after focusing through lens.

T The results show that: in the case of low numerical aperture, using ABCD law to calculate the focal spot size has a certain accuracy, and it is relatively simple, and can be selected as appropriate; in the case of high numerical aperture, using ABCD law to calculate the spot size will have a large error, so it is better to choose vector diffraction integral

Key Words：Gaussian beam；ABCD matrix；vector diffraction theory；tight focus

目 录

摘要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1 选题背景及意义 1

1.2 高斯光束经过透镜聚焦的研究现状 1

1.3 本文的研究目的及主要内容 2

第2章 计算方法 4

2.1 高斯光束 4

2.2.1 波动方程的傍轴近似 4

2.2.2 高斯光束的电磁场及能流密度 5

2.2 ABCD矩阵传输定理 7

2.3矢量衍射积分 10

2.3.1 平面波角谱理论 10

2.3.2 Richards-Wolf矢量衍射积分 11

第3章 仿真结果与分析 21

3.1 仿真计算 21

3.1.1 入射高斯光束 21

3.1.2 切趾函数和入瞳场振幅 21

3.2 仿真结果 21

3.2.1 焦平面上的光强分布 22

3.2.2 轴平面上的光强分布 25

第4章 结论及展望 29

参考文献 30

致 谢 31

第1章 绪论

1.1 选题背景及意义

高斯光束指的是垂直传播方向的横向面内，场振幅以高斯函数的形式向外衰减的光束。某些激光谐振腔内及其输出光束，具有特定折射率分布的光波导的模场分布等都可以是某种类型的高斯光束。而自20世纪60年代初激光光源的发展以来，激光在工业应用中随处可见，在大量的科学研究领域中也必不可少，比如超冷原子的光学捕获、粒子的光学悬浮和基于激光的引力波探测等。所以随着激光和光电子技术的发展，对高斯光束的研究也引起了人们的广泛关注^{[1, 2]}。高斯光束的基模分布是最基本的形式，而只有基模高斯光束并不能表示空间中任意傍轴场的分布，而必须有一正交函数集，也就是高斯光束的高阶模形式。出于正交性和完备性的要求，可以预见高斯波束是基模高斯光束与某种特殊函数的乘积。本文主要基于基模高斯光束进行研究。

光学透镜是一种广泛使用的光学元件，在诸多光学系统和设备中，我们常常可以见到高斯激光束通过几何光学透镜的聚焦。在一些实际应用中,例如微粒子捕获、半导体光刻、和光学数据存储等,要求光斑更小、功率密度更高的光束。此时通过透镜对光束进行聚焦是减小光束光斑、提高光束功率密度的重要手段之一,在实际应用中得到广泛使用。特别是70年代以来，对于矢量光束的聚焦性质的研究一直保持了相当的热度^{[3, 4]}，因为其在聚焦时可以产生特殊的聚焦光斑，如：超越衍射极限的光斑、光学针、中心为暗场的圆环光斑等，拥有很多新奇的特性。所以，聚焦后像场的特性研究，因为这些新奇的特性在许多的领域中，如光计算、光信息处理、光通讯等，有着很大的应用潜力。由此可以看出，有关焦点区域内电磁场结构的知识在理论和实践上都有相当大的价值，因此近年来得到了广泛的研究。

1.2 高斯光束经过透镜聚焦的研究现状

有两种方法可计算高斯光束经过透镜聚焦后的场，其一是标量衍射定理，另外一个是矢量衍射积分。光波是矢量波，但是在一定条件下，可以将矢量波视为标量波，使用标量衍射定理近似地描述光传播的过程。其中，基于标量衍射定理的ABCD定理由于其简便直观，在近些年来，已经得到了广泛深入的研究^[5-7]。求得光学系统的ABCD传输矩阵后，可以直接求得其光斑的大小和位置，也可以代入科林衍射公式，从而得到像场的电磁场分布。但是，ABCD定理是建立在傍轴近似的的基础之上。面对弱聚焦的小数值孔径光学系统，傍轴近似条件成立；而对紧聚焦大数值孔径系统，是否仍能使用傍轴近似还有待商榷。

紧聚焦与弱聚焦相比会产生一个更小的光斑，大小可以达到波长量级甚至亚波长量级。光学系统或者光学仪器可以分辨物体的最小分辨率满足 ，由分辨率公式可以看出使用短波长照明或高数值孔径的光学系统、仪器可以分辨的两点间的最小的距离变小。因此，基于这一理论，光学系统中通常会采用短波长的照明光（例如：紫外光等）和高数值孔径（NAgt;0.7）。使用高数值孔径即可实现紧聚焦。

通过光学透镜的聚焦，可以得到更小的聚焦光斑和更高的分辨率。随着技术进步以及人们对更高分辨率和加工精度的需求，人们在半导体光刻、显微超分辨成像、光学精细加工、微观粒子操纵等领域更多的都会选择高数值孔径的透镜作为聚焦物镜。但是如前所述，在使用高数值孔径透镜的光学系统中，其高斯像场的聚焦光斑会达到波长甚至亚波长量级，因此也就导致了在紧聚焦情况下基于标量衍射理论的计算精度很低。不仅如此，在面对不同偏振态的矢量光束时，原来的标量衍射理论显然己经不能准确地描述矢量光场的焦场分布。因为矢量光场的紧聚焦与弱聚焦相比会产生一个很强的纵向场分量，形成一个具有三维空间分布的焦场；并且，在高数值孔径聚焦条件下Huygens-Fresnel原理不再适用^[8]，且采用傍轴近似忽略了当光线的传播方向不同时造成的细微差异，而认为光线的偏振方向近似一致；同时，也忽略了由高数值孔径透镜带来的效应，如：消偏振和像差等^[9]。所以，Richards和Wolf提出了矢量衍射积分公式来描述激光在高数值孔径条件下的聚焦行为，是目前在矢量光场紧聚焦场分布计算中应用最广泛和最有效的一种计算工具。 他们提出的矢量衍射理论主要是基于德拜近似的平面波角谱展开法^{[10, 11]}，这个理论模型已经得到了广泛的应用，是获得聚焦像场矢量特征和分析各种矢量光场紧聚焦的基础^[12]。

1953年，V．A．Fock 和 H．H．Hopkins 在考虑了入射光偏振的性质的情况下，用矢量方法研究了球面波的圆孔衍射问题^[13]。随后，R．Burtin研究了在高数值孔径透镜系统中使用标量衍射理论会引起的误差^[14]。E．Wolf 和B．Richards在 1956年到 1967 年先是以平面波角谱的形式给出了光学系统像场的电磁场积分表达式；后又导出了线偏振光入射消球差光学系统时，电场矢量和磁场矢量在像空间的表达式，得到了焦点附件的电磁场分布，特别是指出了场相对于焦平面的对称性及其状态，并且对电场的能量大小、对称性、能量的流动方向进行了讨论。随后 A．Boivin，J．Dow 和 E．Wolf等人发表了关于大数值孔径透镜聚焦光斑焦点位置的光场和磁场的分布特性以及坡印廷矢量分布特性等^[15-17]。之后，关于矢量偏振光在大数值孔径透镜聚焦下的衍射问题都采用 Richards-Wolf 矢量衍射理论。但这种方法由于使用了德拜近似，因此对小菲涅耳数系统不适用，无法探讨焦移问题^[17]。为解决此问题，近年来有学者提出了Rayleigh-Sommerfeld矢量衍射方法，并对两种矢量衍射理论进行了比较研究^[18]。

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