论题1：高度聚焦径向极化的光束宽度领域

摘要

在与辐照度正式比较的基础上，针对横向和横向的宽度的分析研究，定义了旋转对称径向极化的纵向分量在高聚焦光学系统的焦平面处的场。 本文介绍光束宽度的整个领域，横梁尺寸与该领域的整体空间结构相关。 光束宽度的定义被应用于说明性的示例，这使我们能够认为在焦平面上的给定半径的圆的能量是主要部分功率，该半径就是波束宽度。

1、绪论

在纳米光子学和纳米光学中，大量的光学器件利用高分辨率聚焦光束（参见例如参考文献1和其中的参考文献）。应用范围从光学数据存储到共焦显微镜和颗粒捕获，仅提及一些示例。在这些情况下，证明了事件场的极化空间分布发挥了至关重要的作用。更具体地说，也可以是径向偏振光束特别有用，因为在它们的聚焦区域，它们的斑点尺寸小于通过常规线偏振场所示的宽度（参见例如参考文献2-4）。在里面实验中，斑点尺寸被引入为由轮廓线包围的区域辐照度曲线的最大值的一半。因此，在这种框架下，梁宽度与辐照度的局部值相关联。然而，对于近轴场，横梁尺寸的概念与光斑半径内的功率含量比。因此，光束尺寸涉及整体横向平面上的空间结构，这通过所谓的方式描述辐照矩形式在这些特征中特别有价值光场表现出复杂而不规则的空结构的情况。如果近轴光束的电场矢量由（，）（，）表示，r和phi;为平面极坐标，（平方）波束宽度然后由二阶确定辐照时刻平面极坐标，（平方）波束宽度然后由二阶确定辐照时刻。

在整个横向平面上计算积分。这个定义的实用性被确认，目前采用的标准时为ISO标准。然而引起困难的是，当试图将波束宽度的定义扩展到高度集中时

由于积分的收敛问题，根据我们的现有的知识，还不能分析电力高度集中的地区，尚未提出用于表示光的横梁尺寸的总体参数。这只是现在的研究工作的目标。应该指出的是，光力的矢量特征，在a单独的方式，横向和纵向分量的横梁宽度定义领域的。本文的结构如下。在下一节中，我们介绍使用的符号这项工作与提出的横向波束宽度的分析定义一起组成部分。将注意力放在极化极化的重要情况下撞击高聚焦系统的领域。纵向分量的波束宽度为在第3节中考虑，全局波束的横向尺寸在第4节中给出。总之光束宽度以填充因子和角孔径表示的况聚焦光学装置。第5节说明权力内容之间有意义的关系和光束宽度。这些定义适用于第6节中的说明性示例分析耗尽中心光束。最后，第7节总结了主要结论。

2、场的横向分量在焦平面上的宽度

让我们考虑在一个平行的输入平面上的单色径向偏振场聚焦光学系统。 如众所周知的[1]，系统焦平面处的电场矢量E由下式给出：

其中A是常数，Ei是假定围绕传播轴z旋转对称的场振幅（入射在系统上）; r和phi;表示焦平面处的极坐标，角度theta;和theta;0表示在图6中。 在等式 （4）积分内的向量提供了径向极化的纯入射的矢量结构场，值z = 0对应于我们正在评估的焦平面E

为了简单起见，让我们写一下

因此，焦平面处的横向和纵向场分量成为

当aequiv;sintheta;0考虑了聚焦系统的角度孔径。 对于方便，在本文的其余部分，事件场幅度E i将以表格形式写入

其中h（rho;）表示任意旋转对称函数。

在本节中，我们将研究焦平面上的场的横向部分。首先， （6.a）可以写入表格

我们将这种关系使用在

因此，横向分量的平方模量（与辐照度成比例）焦点区域由此可得

在与近轴状况的正式类比的基础上（参见方程（1）），我们看到横向分量的宽度（由w T表示）与其宽度紧密相连函数f（r）。 如果我们尝试将二阶矩定义应用于函数f的宽度，我们会发现，一般来说，积分分歧。 克服这个麻烦，介绍一下这个函数的一般宽度定义，我们以形式写入f（r）

应该指出的是，在最近的报道[14]的初步工作中，我们写了功能f（r）。 这里我们选择了方程式给出的解析表达式。（13）因为它们将更容易用于研究聚焦场的波束宽度变化焦点区域周围的横向平面。

以类似于方程式（1），可以正式定义如下：

则

注意，为了获得等式 （16），使用了Parseval定理。 从等式 （15），我们看到建立这种高度广泛的宽度定义的问题，集中的矢量场减少到以合适的方式定义数量

但是，如果试图将上述时刻定义应用可以看出积分分歧。 然后应该提供另一种定义。 首先要做这个说明，那么

例如，在衍射理论中，该函数的横向尺寸可以是其特征在于贝塞尔函数J 2的第二零点的位置。 我们表示这一点值c 2。 因此，我们有

我们在哪里使用平等

这种情况对应于振幅E i读取的入射光束。

1. 在焦平面上的场的纵向分量的宽度

为了方便起见，我们写出纵向分量的振幅

通过应用与上一节相似的程序横向场，我们可知

其中c 1表示贝塞尔函数J 1的第一个零并且

1. 全波束的全局宽度

现在让我们考虑整个光束，其辐照度与全局振幅（平方）成比例，即在与二阶类比的基础上辐照度（参见式（1-3）），我们可以介绍

其中I T由等式 （16）给出，并且

从上面介绍的波束宽度定义现场组件，我们终于得到了

1. 能量含量比

建议通过有效性应通过评估来定义波束宽度，测试功率集中的区域为（z轴周围）的半径。 所占比例如下

为确认分析定义的适当性。 在应用它们之前一个说明性的例子，应该强调指出Tchebycheff的不等式[15]。让我们考虑简单的近轴（标量）情况，并用I（r）和lt;r 2gt;（旋转对称）光束轮廓的辐照度分布及其相关的第二 - 订单时刻。 于是

其中R 0是任意的正数。 我们有

现在，为了保证，至少有75％的能量都包含在一个通告的z轴周围的区域中，我们设置

因此

换句话说，确保总功率的75％的区域的半径R 0应该是两倍二阶辐照时刻的根源。考虑到这一点，在下一节中，我们采用等式 （37），和通过在一个循环中进行整合，将在实例中计算功率含量比半径为特定光束宽度的两倍（横向，纵向或全局）的区域。 在换句话说我们会计算出这个比例

1. 实际应用的一个例子

现在让我们利用上述的分析定义，并具体地考虑到事件耗尽中心场振幅E i给出的说明性情况，我们得到

f是聚焦系统的焦距。图2绘制了场分量的辐照度分布（f 0 = 1）整个光束，在高对焦系统的焦平面上以径向计算到z轴的距离（场是旋转对称的）。很明显，辐照度是对于小于lambda;的径向距离是重要的。图3显示了（比例因子k相差）的宽度。根据第5节的讨论，我们计算出值2w以确保半径为2w的圆内的足够的功率含量比（参见图。 4）。还应注意，对于某个f 0，三条曲线取相同的值。它还应该注意到，尽管初始光束表现出耗尽中心的行为，聚焦区域的全局光束的空间分布呈现钟形结构。

最后， 4可以测试建议的宽度定义是否物理与电力集中区域的大小一致。更具体地说，这个数字提供了比例

请注意，图中使用相同的刻度。 可以预见，我们可以看到从图中，P 2w总是高于总功率的88％。 换句话说，光能量主要集中在半径为两倍的z轴周围的圆形区域相应的波束宽度。 还有趣的是注意到小范围的变化（小于10％）的功率含量比P 2w，用于填充因子的大变化

图2.在焦平面上的辐照度（任意单位）与径向距离r的关系传播轴z（在图中，曲线已经用...表示无量纲参数kr）。 这些图是指横向部件（图2.a）纵向分量（图2.b）和整个场（图2.c）。 在所有数字中，相同尺度已被用于纵坐标，填充因子f 0已被选为等于1。

图 3.无量纲参数2kw在焦平面与横向相关组件因素间关系

图4.功率含量比P 2w（由式（40）定义）以f 0表示。 虚线、点线和实线线分别对应于横向部件，纵向组件和整个领域。

1. 结论

与矢量场的整体空间结构相关，波束宽度定义基于辐照度矩已经从近轴壳扩展到高度集中矢量场。更具体地，对于入射的径向偏振光束分析聚焦系统，提出了分析定义在该区域的场的横向和纵向分量的波束宽度（焦平面），其中光功率高度集中。从上述的组合定义，也可以介绍整个领域的波束宽度。半径由光束宽度给出的圆内的功率含量比已经达到通过说明性例子来研究有关径向偏振的事件耗尽中心的领域。结果证实了拟议定义的适用性分析地表征在焦平面上与高度聚焦场相关联的宽度。从该平面传播的光束宽度的演变构成下一步骤的研究，今后值得深入研究。

论题2：矢量光束的光束质量评估方法

矢量束已经找到了无数的应用程序，激光材料加工到显微镜，现在很容易在实验室生产。 他们通常是差异化的例如，通过定性测量的标量光束，旋转偏振器后的光束轮廓的目视检查。这里我们介绍一种定量光束质量测量矢量光束并展示在圆柱矢量上涡流梁。 我们展示一个措施如何定义为矢量质量，从0（纯标量）到1（纯矢量）。 我们的措施来源于量子工具包，我们显示适用于经典矢量梁。

由于激光器的发明和其反射式的定义，经文模式，许多研究都考虑了一个问题任意激光模式的光束质量因子[1]。在早期的传统上与统计数据相关的20世纪90年代的工具被应用对于具有均匀偏振（标量光束）的激光束，利用概率密度之间的类似行为功能和激光束强度分布[2]。查看后者是发现光，概率的概率用于定义波束和发散宽度作为第二mo-强度，最终产生光束质量因子，M 2，作为任何标量模式的单一度量[3]。这个测量从此被广泛研究，具有新颖的数字化测量技术[4]，并被纳入ISO用于测量和定义激光束的标准。近年来，具有不均匀偏振的激光束分布，所谓的矢量光束已成为主题由于其应用范围在多样化的主题中光显微镜[5,6]，光学镊子[7,8]，量子记忆[9]和数据加密[10]。过去几年多年来，生成矢量涡流的各种手段已经有了长足的进步，同时具有单模纤维的几何相位板[28]。重要的是，没有定量的措施来定义a的质量例如，向量模式将它们与标量区分开来模式。 目前这是通过定性手段，如测量偏振器后的轮廓变化，或通过平均横梁的偏振度。这里我们借用传统上与量子有关的工具力学，并将其应用于矢量束。 因为矢量梁可被视为“纠缠”或不可分离的空间和极化自由度，我们应用纠缠 - 量化这个矢量的这个典型属性的措施模式，称之为矢量质量因子（VQF）。 我们恶魔 - 将这种技术应用在连续的各种梁上范围从纯标量到纯矢量。 这项工作提供了一个用于矢量模式的激光束表征的新工具。

考虑到任何坐标系中的横向电场（R）的形式

其中e L和e R表示左旋和右旋的极化具有相关空间模式的状态，只给出方程式的左边 （1），应该采取适当的措施来确定光束是否是矢量是否可以测量？ 我们想要一个VQF它通过纯向量光束将纯标量映射到范围0到1。为了实现这一点，我们使用通常相关的测量与量子力学，同意C [29]（度的纠缠），作为定义VQF的措施

其中s是布洛赫矢量的长度，定义为

我在这I=1、2、3是期望值保利运算符，代表一组归一化强度，光学上，s对应于极化程度，平均极化状态，其中详细说明派生可以在[30]中找到。作为示例，考虑圆柱矢量涡流模式，在标准极坐标中定义

其中l是携带lℏ量子的光束的方位角指数每个光子的轨道角动量（OAM）。为了测试，需要测量：六个相同的测量执行两种不同的基础状态。强度I ij，归一化为I的最大值，由所选择的定义测量基础i和六个投影测量j。如选择圆极化作为测量依据。每个强度被分配到其各自的基础状态一阶向量涡流模式的投影测量。这六个OAM测量结果映射到高阶庞加莱球[19]。这种技术适应了全状态的tomog-raphy更常用于量子纠缠状态，其中使用一套完整的测量来描述全密度矩阵并计算纠缠度[31]。保利经营者的期望值是从我计算如下：

这些期望值类似于斯托克斯参数用于恢复极化分布[32]，但是根本不同：他们不代表一系列的Polari-定位测量，而是一系列全息的确定空间领域，并产生一定的测量矢量光束的不可分离度。我们通过使用组合实现这个实验，几何和动态相位控制国家。不管基因 - 矢量模式可以在两个差分法中进行分析，不同的系统：矢量质量检测方案和矢量模式分拣机。后者区分不同的向量模式，而前者提供了可量化的衡量标准质量的矢量模式。两个系统都使用模态分解位置技术[35]，其中内部产品使用匹配滤波器的事件字段来确定模式的加权系数。在光学上，内部产品通过引导将匹配光束置于匹配滤光片上，使用透镜（FL）形成电荷耦合器件（CCD）相机[35]。

图1矢量模式的实验生成和分析。使用半波片（lambda;/ 2）调整基波的极化高斯模式，我们生成圆柱矢量模式与q板的拓扑电荷q？ 1/2。 q盘对齐，使其全局相位相对于水平轴为零。所产生的矢量模式被引导到两个检测系统。一方面，我们使用分选器区分矢量模式，由此使光束通过第二q板和偏振分束器（PBS）;两者作为相关滤波器。使用傅立叶透镜（FL）在傅立叶平面测量相关的输出。上另一方面，我们通过使用偏振光栅（PG）和使用OAM投影进行偏振投影来确定VQF在空间光调制器（SLM）上编码的相位图案。在两个傅里叶透镜的傅立叶平面中测量输出。 （BS，梁分离设备; CCD，电荷耦合器件

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