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通过离散傅立叶变换计算一维相位的菲涅尔衍射

拉苏尔·安立波

伊朗，大布里士5375171379，阿塞拜疆 沙希德·马达尼大学，物理系

摘要：当光波前的一部分经历其相位的急剧变化时，菲涅尔衍射变得可见。随着波前以相位阶跃而发生相位的急剧变化。通过应用菲涅尔-基尔霍夫积分来制定相位阶跃的衍射图的强度分布。因为当台阶上的入射光是相干的时，可以通过使用熟悉的菲涅尔积分来解决菲涅尔 - 基尔霍夫积分。但是，当入射光是部分相干时，不能表示衍射积分作为菲涅耳积分，并且问题总结在解决一些不寻常的积分。在本报告中，我们提出傅立叶变换法来求解菲涅尔-基尔霍夫积分。在这方面，我们使用离散傅立叶变换法，并通过基于FFT的算法从一维相位步骤计算菲涅尔衍射。该方法对入射光的相干性和轮廓形状没有任何限制。我们显示该方法具有适当的解决方案，用于相干和部分相干光。对于步骤的相干光照明的情况，通过在报道的文献中使用菲涅尔积分，获得的结果与计算结果良好一致。

关键词：菲涅尔衍射离散；傅里叶变换相位步阶跃

1. 介绍

当光学波前从台阶反射或穿过透明介质时，其厚度或折射率突然变化，其相位经历急剧变化。引起波前的相位变化的物体被称为相位阶跃。这表明从相位阶跃的菲涅尔衍射是可感知的[1]。这种菲涅尔衍射不同于熟悉的菲涅尔衍射，其中不透明物体部分地阻挡相干光束的通过[2]。在过去十年中，来自相位阶跃的菲涅耳衍射具有显着的物理和计量应用[3-16]。为了获得来自相位阶跃的衍射场的强度分布，应用菲涅尔-基尔霍夫积分。菲涅尔-基尔霍夫积分的解决方案作为熟悉的菲涅尔积分在大多数数学手册中找到[17]。然而，这些解决方案仅适用于台阶的相干光照明。但是，对于具有任意轮廓形状的部分相干光，菲涅耳衍射积分不能通过使用菲涅尔积分来解决，并且必须从一些非常规积分的数值解获得衍射场。

另一方面，菲涅尔-基尔霍夫积分可以解释为孔径的光场和二次相位因子的卷积积分[18]。因此，菲涅尔衍射可以通过计算传播的角频谱来评估[19]。因此，可以使用傅里叶变换方法，并且可以通过离散傅立叶变换（DFT）对其进行数值计算。DFT的有效实现可以通过使用快速傅立叶变换（FFT）[20]来执行。基于傅里叶变换的方法提供了容易的实现和不可理解，因为DFT算法在信号处理任务中广泛使用。

在本报告中，我们使用DFT方法并计算来自1D相位阶的相干和部分相干光的菲涅尔衍射。对于相干光的情况，我们使用DFT方法求解菲涅尔-基尔霍夫衍射积分，并使用基于菲涅尔积分的直接方法进行组合。为了获得从相位阶跃衍射的部分相干光的强度分布，我们考虑照亮相位阶跃的高斯-谢尔模型源。因此，我们使用基于DFT方法的广义谢尔定理计算衍射光的光谱密度。

1. 用于计算来自1D相位阶跃的菲涅尔衍射的DFT方法

在图1（a）中，具有在点S处垂直于页面的对称轴的柱面波前在通过分束器BS的垂直

入射下照射高度为h的1D相位阶跃。我们的目标是在菲涅尔近似中计算从相位阶跃到距离相位阶跃P₀P 的屏幕上的任意点x所衍射的光的复振幅。点P0是台阶上的坐标系的原点，并且它位于线SP与反射表面的交点，其中S是源的虚拟图像。位于屏幕上的像x的点处的衍射场通过如下的菲涅尔-基尔霍夫积分获得：

图（1） 用于计算在垂直入射下从1D相位阶跃衍射的相干光的强度分布的几何形状和符号的示意图

其中BS，S，S，R和R分别表示光束分离器，源，源的虚像，从台阶到屏幕的垂直距离，以及从源到台阶的垂直距离

(1)

其中和代表圆柱波前的倾斜因子[1]和波数。是与入射场相关的阶跃上的光场，如下所示：

(2)

其中R是从线性源到台阶的距离。和r分别表示阶跃的入射幅度和幅度反射率。是相位阶跃函数，其高度h定义如下：

(3)

通过考虑图1。菲涅尔近似中的r的以下关系有效：

(4)

通过代入方程（2）和（4）带入（1），菲涅尔-基尔霍夫积分采用以下形式：

(5)

在获得这个方程中，我们已经考虑到，由于方程的分母中的r的变化，幅度的变化 方程（1）可忽略。方程（5）表示相位阶梯函数和二次相位因子之间的卷积[18]。 为了得到在菲涅尔域中的衍射场（x），我们从方程（5）的两侧采取傅立叶变换。所以，我们得到：

(6)

在等式中,和分别是和的傅立叶变换。xi;代表频域中的变量。在获得等式 （6）我们使用了卷积积分的傅立叶变换特性[18]。现在，为了得到衍射场，UR，足以进行方程（6）的反傅里叶变换。 为了进行傅里叶变换，我们仅使用相位阶梯函数和二次相位因子的适当采样来使用DFT方法。 最后，来自1D相位步骤的菲涅尔衍射从以下等式计算：

(7)

图（2） 从正交入射的1D相位衍射的相干光的强度分布曲线，通过使用DFT法计算得到

（a），（b）lambda;和（c）的阶跃高度

在获得这个方程中，我们把带入公式（6），其中代表步长上的采样扩展，是步长上的采样周期，m，和m是整数[19]。根据式（7），使用两个DFT取消输入和输出之间的比例因子。因此，采样周期和样本数量N在传播过程中保持恒定。相位阶跃函数和二次相位因子的奈奎斯特采样条件[21]提供条件。因此，它验证近场菲涅尔模式计算。为了实现DFT方法，我们使用MATLAB软件的FFT算法[20]。为了得到1D相位阶跃的菲涅耳衍射图案的密度分布，我们将乘以其复共轭， 。图2示出了对于台阶的三个不同高度的来自1D相位台阶的菲涅尔衍射的强度分布。如图所示，通过使用基于菲涅尔矩阵的直接法，计算的强度分布与计算的强度分布良好一致[1]。此外，它们与1D相步骤的实验衍射图的强度分布[6]非常一致。然而，为了显示这个协议，我们解决方程式中（1）的菲涅尔-基尔霍夫衍射积分。为此，我们在计算中导入一些更改。首先，相位阶跃的作用出现在r的计算中，而不是瞳孔函数中。第二，我们必须区分从左侧反射的光和从台阶的右侧反射的光。因此，方程（1）表示如下：

（8）

其中和分别是从阶跃的左侧和右侧反射的光的向量r。 在推导这个方程中，我们忽略了由于分母中R的变化而引起的入射光的振幅的变化。通过考虑图(1)，我们得到：

（9）

（10）

在这些关系中，我们考虑了菲涅尔近似和忽略非常小的项。把方程（9）和（10）带入方程（8），衍射积分采用以下形式：

（11）

其中。现在使用缩写：和，表示菲涅尔积分， .[2]，并且回顾，方程（11）可以被表达成如下形式：

（12）

其中。为了获得强度，我们将UR（x）乘以其复共轭UR *（x），在一些简化操作之后，实现归一化强度如下：

（13）

该强度方程完全符合参考文献[1]中给出的结果。为了比较，通过使用两种方法计算的强度分布图一起绘制在图(3)中，阶跃高度。 如图所示，两个轮廓具有良好的精确度。

图(3) 在垂直入射下，从高度的1D相位阶跃衍射的相干光的强度分布曲线。 它们通过使用DFT方法（全曲线）和基于菲涅尔积分的直接方法（虚线曲线）来计算

1. 来自1D相位阶跃的部分相干波前的菲涅尔衍射

图（4） 用于计算从距离步长R距离的屏幕上的1D相位阶跃衍射的部分相干光的光谱密度的几何形状和符号的示意图

假设单色部分相干柱面波前从1D相位阶跃反射，如图（4）所示。 我们希望获得在离阶跃的距离R处的平面上的菲涅尔衍射图案的强度分布。 为了计算强度，我们使用以下关系[22]

（14）

其中：是谱密度并且表示在位置x和频率omega;=处的屏幕上的波场的强度，同时：

（15）

是场的交叉谱密度函数，。它可以用源上的场的交叉谱密度函数来描述如下[22]：

（16）

对方程（4）中r1和r2及公式（16）应用菲涅尔近似公式。公式（14）中的频谱密度采取以下形式：

(17)

为了处理这种双重积分，我们使用广义的谢尔定理[24]。使用新变量重写积分：

（18）

并且假设入射光场的统计是稳定的。从而：

(19)

内积分{hellip;}，似乎只是自相关函数。非相干点扩散函数对于无穷远处的源，系统 是由于柱形波入射到阶跃上而产生的强度分布[24]。因此，从公式(5)，它由：

（20）

通过自相关定理[18]，傅立叶变换由自相关函数给出。因此，如果我们定义为：

（21）

我们可以写出如下的频谱密度：

（22）

其中*表示x上的一维卷积。 因此，通过使用DFT方法，从以下等式获得频谱密度：

（23）

我们假设相位步长由高斯谢尔模型源照亮。这种类型的光源在光学相干理论中起着越来越重要的作用，因为它们表现出在实践中遇到的许多光场的本质特征。一维的高斯谢尔模型源特征在于以下形式的交叉谱密度函数[22,25,26]：

（24）

这里：表示入射光的光谱密度，表示光源的宽度，是光源上的有效相干长度。 在推导这个关系中，我们假设入射光场的统计是稳定的，因此，我们可以写：

（25）

其中=，通过使用等式（20）-（24）和用于通过MATLAB软件实现DFT的基于FFT的算法，计算屏幕上的谱密度。 光谱密度的曲线（方程（23））已绘制在图1中。 图（5）为相干不同长度。 现在验证直接方法给出可靠的解，我们求解方程式中的双积分。方程（14）计算从台阶的左侧反射的光和从台阶的右侧反射的光之间的差。因此，方程（14）表示如下：

（26）

图（5） 从高度为h =4lambda;的1D相位阶跃衍射的部分相干光的光谱密度分布（a）= 10mm，（b）= 7mm，（c）= 5mm，（d）= 2mm的相干长度的高斯壳模型源

梯级上的场的交叉谱密度函数可以根据源上的场的交叉谱密度函数来写作方程(16)。相应地， 使用方程（9）和（10），并且考虑到由于分母中的，和的变化而引起的振幅变化是可忽略的，我们得到：

(27)

其中，并且

（28）

最终，为了检查方程（27）的正确性，并得到频谱密度，我们考虑三种情况：

1.相干光照明：在这种情况下，当梯级上的场是均匀的时，方程（27）经过一些简单的计算，得出公式（13）。

2.非相干光照度：，其中）是狄拉克三角洲函数[23] ，方程（27）中的双积分的总和导致：，其中L是被源照射的台阶的横向长度。因此，我们将在屏幕上有均匀的强度。

3.部分相干光照射：对于高斯谢尔模型源，考虑交叉光谱密度函数，如公式（24）。

在这种情况下，定义的方程（27）的被积函数：。它可以简单地表明，在方程（27）中不能表示积分作为菲涅尔积分。 因此，从公式（27）需要通过数字方法计算几个无限双积分。 显然，这种工作是耗时的，并且与众所周知的DFT方法相比，其结果是不可靠的。 因此，为了计算来自相位阶跃的部分相干光的衍射，强烈推荐DFT方法。

4. 结论<!--

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